A group consists of both men and women. The average (arithmetic mean) height of the women is 66 inches, and the average (arithmetic mean) height of the men is 72 inches. If the average (arithmetic mean) height of all the people in the group is 70 inches, what is the ratio of women to men in the group?

这是一道。该问题包含两个群体，且两个群体的平均身高各不相同。当两个群体合并计算平均身高时，整体平均值会发生变化。这类题目可能会要求你计算其中一个群体的人数、两个群体的数量关系、某一群体的平均身高，或是其他相关量。如果试图死记硬背解题公式，一旦题目形式与记忆的内容稍有不同，你就会陷入困境。但只要稍加变通、通过逻辑推理，你就能快速解决任何加权平均数问题。具体方法如下：

把整体平均身高想象成跷跷板的。

计算每个群体的身高与整体平均值的差值。在这道题中，女性的平均身高比整体均值低 4 英寸，男性的平均身高比整体均值高 2 英寸。因此，我们可以把女性群体放在支点左侧 4 英寸的位置，男性群体放在支点右侧 2 英寸的位置。

如果你玩过跷跷板就会知道：离支点越远，自身重量的 “影响权重” 就越大。一个站在跷跷板最外侧的人，甚至可以平衡一个离支点更近、体重更重的人。因此，这道题的模型应该是这样的：

女性群体到支点的距离是男性群体的两倍，因此她们的 “权重占比” 也是男性的两倍。要让跷跷板保持平衡，男性的人数就必须是女性的两倍。

此时跷跷板达到平衡状态，这道题也就迎刃而解了 —— 群体中的男女比例为 1:2。

如果不知道每个群体的数值与整体均值的差值，该怎么解题呢？来看下面这道题：

The average (arithmetic mean) of 13 numbers is 70. If the average of 10 of these numbers is 90, what is the average of the other 3 numbers?

画出跷跷板模型：右侧放 10 个数字，左侧放 3 个数字。由于这 10 个数字的平均值为 90，与整体均值的差值为 20，因此它们位于支点右侧 20 个单位的位置。我们暂时不知道左侧 3 个数字与支点的距离（不过可以确定的是：因为左侧数字的数量更少，要让跷跷板平衡，它们与支点的距离必须大于 20 个单位）。

当跷跷板平衡时，左侧 3 个数字与支点的距离是多少？左侧数字的数量是右侧的103​，因此，要使跷跷板平衡，左侧每个数字的 “权重占比” 必须是右侧的310​倍，对应的与支点的距离也必须是右侧的310​倍。

计算可得：10​/3  ×20=200​/3。但这并不是最终答案 ，这个数值只是左侧 3 个数字与整体均值的差值。由于左侧数字的数值低于整体均值，因此它们的平均值为70−200/3​=10​/3。

这种方法甚至可以用于解决部分百分数问题。来看最后一道例题，建议你先尝试独立解题，再继续阅读。

高纤 X 麦片的膳食纤维含量为 55%，高纤 Max 麦片的膳食纤维含量为 70%。谢尔登将两种麦片混合成一碗膳食纤维含量为 65% 的混合麦片。若这碗混合麦片的总重量为 12 盎司，那么其中高纤 X 麦片的重量是多少盎司？

我们可以这样构建跷跷板模型：

高纤 X 麦片的纤维含量与混合麦片的差值，是高纤 Max 麦片的两倍，因此它的 “权重占比” 也是后者的两倍。要让跷跷板保持平衡，高纤 X 麦片的重量必须是高纤 Max 麦片的一半。已知混合麦片总重 12 盎司，因此高纤 X 麦片的重量为4 盎司，高纤 Max 麦片的重量为 8 盎司。

这道题给我们的启示是：想在 GRE 考试中取得高分，不必死记硬背大量数学公式。事实上，死记公式会降低你的思维灵活性，还会让你更难发现自己的解题错误。建议你通过逻辑推理，按照本文的思路解决加权平均数问题。你可以在Testace平台中找到更多同类题目进行练习！

我们知道，对于两个等式

a=b

c=d

我们可以对其进行加、减、乘、除这四种基础运算，运算规则如下：

a+c=b+d（成立）

a−c=b−d（成立）

a×c=b×d（成立）

a÷c=b÷d（成立，需满足c、d不等于0）

那么，我们在什么情况下可以对两个不等式进行加、减、乘、除运算呢？这需要遵循特定的规则。今天我们就来探讨这些规则及其背后的原理。

一、 加法运算

当两个不等式的不等号方向相同时，我们可以直接将它们相加。

若满足

a<b

c<d

则

a+c<b+d（成立）

从逻辑上也很好理解：如果a小于b，且c小于d，那么a与c的和，自然也小于b与d的和。

同理，若满足

a>b

c>d

则

a+c>b+d（成立）

情况 2：两个不等式的不等号方向相反时，该如何处理？

例如：

a>b

c<d

此时我们需要将其中一个不等式两边同时乘以−1，使得两个不等式的不等号方向一致。

对 c<d 两边同乘−1，不等号方向改变，可得：

−c>−d

这时两个不等式的不等号方向相同，我们就可以将它们相加：

a−c>b−d

二、 减法运算

当两个不等式的不等号方向相反时，我们可以进行减法运算。

若满足

a>b

c<d

则

a−c>b−d（结果的不等号方向与被减不等式一致）

从逻辑上理解这个规则：用一个更大的数a，减去一个更小的数c，得到的结果a−c，必然大于用一个更小的数b，减去一个更大的数d，得到的结果b−d。

需要注意的是，这个结果和我们将其中一个不等式变号后再相加得到的结果是完全相同的（参考上文的情况 2）。

当两个不等式的不等号方向相同时，我们不能直接进行减法运算，因此建议大家在解不等式时，优先使用加法法则。具体做法是：

若不等号方向相同，直接相加；

若不等号方向相反，将其中一个不等式两边同乘−1，转化为同方向不等号后再相加（本质上等同于减法运算）。

为什么不等号方向相同时，不能直接相减呢？我们举个例子来验证：

已知

3>1

5>1

如果直接相减，会得到

3−5>1−1

即

−2>0

这个结论显然不成立。

再换一组数字试试：

3>1

2>1

直接相减得到

3−2>1−1

即

1>0

这个结论看似成立，但这只是个别情况。

由于我们无法确定两个不等式两边数值的差距大小，因此不等号方向相同时，减法运算的结果不具有普适性。

三、 乘法运算

乘法运算的约束条件和加法运算基本一致（不等号方向需相同），但还多了一个关键前提：两个不等式的两边都必须是非负数。如果无法确定不等式两边是否为非负数，就不能进行乘法运算。

若a、b、c、d均为非负数，且满足

a<b

c<d

则

a×c<b×d（成立）

原理很直观：两个较大的数相乘，结果一定更大。

我们举几个反例，看看当不等式中存在负数时，直接相乘会出现什么问题：

反例 1：

−2<−1

10<30

两边直接相乘，得到

−20<−30

结论不成立。

反例 2：

−2<7

−8<1

两边直接相乘，得到

16<7

结论不成立。

四、 除法运算

除法运算的约束条件和减法运算基本一致（不等号方向需相反），同时也有一个关键前提：两个不等式的两边都必须是正数（分母不能为 0 是默认要求）。如果无法确定不等式两边是否为正数，就不能进行除法运算。

若a、b、c、d均为正数，且满足

a<b

c>d

则

a÷c<b÷d（成立，结果的不等号方向与被除数不等式一致）

从逻辑上理解：一个较小的数除以一个较大的数，得到的结果自然更小。

同样，我们举一个反例，看看当不等式中存在负数时，直接相除会出现什么问题：

1<2

10>−30

两边直接相除，得到

1/10  ​< − 2/30​

结论不成立。

解题要点总结

加法运算：两个不等式不等号方向相同时，可直接相加。

减法运算：两个不等式不等号方向相反时，可直接相减。

乘法运算：两个不等式不等号方向相同，且两边均为非负数时，可直接相乘。

除法运算：两个不等式不等号方向相反，且两边均为正数时，可直接相除。

GMAT 考试中，有一类高频题型专门考察两位数数位倒置后数字的性质。由于这类题目出现频率较高，花点时间深入理解这类数字的特性，能帮你快速解题。和 GMAT 的很多考点一样，我们只需随机选取几组数位倒置的两位数，结合代数方法分析，就能总结出通用规律。

我们可以双管齐下，既列举实例，也用代数推导。

首先，列出几组随机的数位倒置两位数：{34, 43}、{17, 71}、{18, 81}。接下来我们分别计算每组数字的和与差，看看能否发现规律。

先算加法：34+43=77；17+71=88；18+81=99

有趣的是，每组数字的和都是 11 的倍数。这个规律适用于任意一组数位倒置的两位数。

再算减法：43−34=9；71−17=54；81−18=63

同样能发现规律：每组数字的差都是 9 的倍数。

我们可以用代数方法轻松证明这个结论。

假设一个两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，那么这个两位数可以表示为 10a+b。

（如果不好理解，可以代入具体数字验证。比如数字 34，这里 a=3，b=4，代入公式就是 10×3+4=34。原理很简单：十位上的数字代表几个十，因此需要乘以 10。）

如果将这个两位数的数位倒置，新的两位数就是 10b+a。

我们先计算两数之和：(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)

由于 a 和 b 都是整数，因此两数之和一定是 11 的倍数。

再计算两数之差：(10a+b)−(10b+a)=9a−9b=9(a−b)

同理，两数之差一定是 9 的倍数。

掌握这个规律后，再看 GMAT 真题，你会发现解题变得轻而易举。

真题 1

The positive two-digit integers x and y have the same digits, but in reverse order. Which of the following must be a factor of x + y?

A) 6

B) 9

C) 10

D) 11

E) 14

如果理解了上面的推导过程，这道题几乎不用思考就能选出答案。我们已经证明，数位倒置的两个两位数之和是 11 的倍数，因此 11 一定是其因数。

答案是 D。是不是很简单？

真题 2

If a two-digit positive integer has its digits reversed, the resulting integer differs from the original by 27. By how much do the two digits differ?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

方法一：代入数字验证

我们可以结合选项来选取数字。假设先看选项 B，数字之差为 4，我们选取数字 84 和 48，计算差值：84−48=36。这个差值比题目要求的 27 大，说明两个数字的差距应该更小。因此答案必然小于 4，直接锁定选项 A。

（如果担心这个结论不够严谨，可以验证差值为 3 的情况，比如数字 41 和 14，计算差值：41−14=27，与题目条件完全吻合。）

方法二：代数推导

设原数为 10a+b，数位倒置后的新数为 10b+a。根据题意，两数之差为 27，可列出方程：

(10a+b)−(10b+a)=27

化简方程：

9a−9b=27

两边同时除以 9，可得：

a−b=3

两种方法都能轻松得出答案，结果同样是 A。

解题要点总结

刷过几百道 GMAT 练习题后你会发现，有几种解题策略适用于大量不同题型 , 比如代入数字法、选项验证法、基础代数运算，或是运用你已经内化的数字性质规律。

就本题而言，需要牢记的核心规律是：

1. 数位倒置的两个两位数，和是 11 的倍数；
2. 数位倒置的两个两位数，差是 9 的倍数。

通常来说，只要某类题型在OG中出现超过一次，就值得花时间深入研究，总结规律。

在迈克尔・刘易斯所著的《高频交易员》书中，作者提到了一个有趣的事：一位求职者在对冲基金的面试中被问到这样一个问题：3599 是质数吗？ 想必你此刻的 GMAT 应试直觉已经在提醒你，这个问题的解法，恰恰能运用到 GMAT 考试的解题技巧中。接下来我们就来拆解这个问题。

首先，这是一道压力面试题，所以无论解题方法是什么，都绝不会涉及繁琐复杂的计算。此外，证明一个大数不是质数，要比证明它是质数容易得多。因此，我们的思路应该是寻找 3599 除了 1 和它本身之外的其他因数。

在 GMAT 考试中，当遇到数字不规整的数值时，不妨联想其附近整数的特性。本题中，3599 可以转化为 3600−1。3600 是一个特征明显的整数，它是完全平方数，即 60²；而 1 同样是完全平方数，即 1²。因此，3600−1 可以写成平方差的形式：

3600−1=60²−1²

我们熟知平方差公式：x²−y²=(x+y)(x−y)。我们设 x=60，y=1，代入公式可得：

60²−1²=(60+1)(60−1)=61×59

由此可知，61 和 59 都是 3599 的因数。既然 3599 存在 1 和自身以外的因数，就说明它不是质数。

不过我们言归正传，接下来分析几道运用该公式解题的 GMAT 真题。

真题 1

999,999²−1=

A) 10¹⁰−2

B) (10⁶−2)²

C) 10⁵(10⁶−2)

D) 10⁶(10⁵−2)

E) 10⁶(10⁶−2)

我们先观察式子的结构：只要看到一个数的平方（或任意偶数次方）减去 1，就可以判定这是平方差公式的应用场景，因为 1 本身就是完全平方数。因此，原式可以转化为：

999,999²−1²

代入平方差公式计算：

999,999²−1²=(999,999+1)(999,999−1)

(999,999+1)(999,999−1)=1,000,000×999,998

再对照选项可以发现，所有答案均以 10 为底数，因此我们还需要对结果做进一步转化。我们知道 1,000,000=10⁶（10 的指数等于数字末尾 0 的个数）；同时 999,998=1,000,000−2=10⁶−2。

将转化后的数值代入可得：

1,000,000×999,998=10⁶(10⁶−2)

因此，本题的正确答案是 E。

真题 2

Which of the following is NOT a factor of 3⁸ – 2⁸?

A) 97

B) 65

C) 35

D) 13

E) 5

看到这个式子你会很快发现，直接计算 3⁸−2⁸ 会涉及大量繁琐运算。但幸运的是，这是两个数的偶次幂之差，我们可以再次运用平方差公式来解题。

首先，将原式变形为平方差的形式：

3⁸−2⁸=(3⁴)²−(2⁴)²

我们先计算出 3⁴=81，2⁴=16，代入可得：

(3⁴)²−(2⁴)²=81²−16²

再套用平方差公式计算：

81²−16²=(81+16)(81−16)=97×65

从这个结果我们可以直接看出，97 和 65 都是 3⁸−2⁸ 的因数。本题要求选出 “非因数” 选项，因此 A 和 B 可以直接排除。

接下来我们对 65 进行质因数分解：65=13×5。由此可知，3^8−2^8 的质因数包含 97、13 和 5，因此 13 和 5 也是原式的因数，D 和 E 也可以排除。

最终剩下的选项就是 C，这就是本题的答案。

解题要点总结

• GMAT 考试并不考察你进行繁琐计算的能力。因此，当题目要求计算两个大数的差值时，很有可能可以将其转化为平方差的形式来求解。
• 看到形如(大数)²−1的式子时，这一定是平方差公式的应用场景，因为 1 是完全平方数。
• 当题目给出的是两个数的偶次幂之差时，同样可以运用平方差公式求解 ,所有整数的偶次幂，本质上都是完全平方数。

效率问题几乎是各类标准化考试的必考题型；SAT 考试里有，GRE 考试里也有，所以在 GMAT 考试中也一定会遇到它。但很有意思的是，尽管这类题出镜率极高，但却从来没学过系统的解题方法。很多学生觉得自己就是不擅长这类题目，但实际上，他们只是从来没有掌握正确的解题思路而已。工程问题作为效率问题的一个分支，情况更是如此。

解答复杂的工程问题时，除了我们熟知的核心公式 效率 × 时间 = 工作量 之外，通常只需要牢记两个关键点。

第一，效率是可以叠加的。如果我完成 1 项工作需要 4 小时，那么我的工作效率就是1/4​；如果你完成 1 项工作需要 3 小时，那么你的工作效率就是1/3。将我们的效率相加，就能得到合作效率：1/4 + 1/3​，也就是说，我们两人合作，12 小时可以完成 7 项工作。

第二，效率和时间成反比关系。如果我们的合作效率是127​，那么完成 1 项工作所需的时间就是7/12小时。这个逻辑其实并不复杂。但令人惊叹的是，运用这两个简单的原理，就能破解看似棘手的难题。我们来看一道真题：

Pumps A, B, and C operate at their respective constant rates. Pumps A and B, operating simultaneously, can fill a certain tank in 6/5 hours; pumps A and C, operating simultaneously, can fill the tank in 3/2 hours; and pumps B and C, operating simultaneously, can fill the tank in 2 hours. How many hours does it take pumps A, B, and C, operating simultaneously, to fill the tank.

A) 1/3

B) 1/2

C) 2/3

D) 5/6

E) 1

我们先设定变量：设水泵 A 的效率为Ra​，水泵 B 的效率为Rb​，水泵 C 的效率为Rc​。

根据 “时间与效率成反比” 的原理，当 A 和 B 同时工作灌满水箱需要6/5小时时，它们的合作效率就是5/6​，由此我们可以列出第一个方程：

Ra​+Rb​=5/6

同理，A 和 C 同时工作的效率为2/3​，可得第二个方程：

Ra​+Rc​=2/3​

B 和 C 同时工作的效率为1/2​，可得第三个方程：

Rb​+Rc​=1/2

我们最终的目标，是求出三台水泵同时工作时灌满水箱的时间。根据核心公式，只要算出三台水泵的合作效率Ra​+Rb​+Rc​，再取其倒数，就能得到所需时间。那么我们该如何通过上面三个方程求出三台水泵的合作效率呢？首先，我们将三个方程依次罗列：

Ra + Rb = 5/6.

Ra + Rc = 2/3.

Rb+ Rc = 1/2.

接下来，我们将三个方程左右两边分别相加，可得：2Ra + 2Rb + 2Rc = 5/6 + 2/3 + 1/2

对等式右侧进行通分计算：2Ra + 2Rb + 2Rc = 5/6 + 4/6 + 3/6 = 12/6 or 2Ra + 2Rb + 2Rc  = 2.

等式两边同时除以 2，即可算出三台水泵的合作效率：

Ra​+Rb​+Rc​=1

这就意味着，三台水泵同时工作时，1 小时可以灌满 1 个水箱。既然合作效率为 1，而时间又是效率的倒数，那么完成这项工作所需的时间显然就是 1 小时。因此，本题的正确答案是 E。

解题心得

我们对自己学业短板的最大误解，就是认定自己天生不擅长某一类题目，但事实是，我们只是从未掌握这类题的正确解法。和 GMAT 考试中的其他考点一样，只要掌握了清晰的解题框架，再加以适量练习，效率与工程问题就能被快速攻克。所以，牢记两个核心要点：工程问题中效率可以叠加，效率与时间成反比。

在解答 GMAT 的支持 / 削弱类题目时，最关键的环节是定位结论，但有时仅仅做到这一点还远远不够。即便你已经找准了结论，也必须确保自己对其有透彻的理解。今天，我们就来探讨一类 “暗藏玄机的结论”。

首先，我们来看几个简单的例子：

结论 1：A Causes B.

要支持这个结论，我们可以给出这样的表述：当 A 发生时，B 就会随之发生。

要削弱这个结论，则可以表述为：A 发生了，但 B 并未发生。

那么，如果有表述指出 “C 导致 B”，或者 “B 发生了，但 A 并未发生”，又会对结论产生什么影响呢？

答案是：不会产生任何影响。我们讨论的核心逻辑关系是 “A 导致 B”，至于是否存在其他导致 B 的因素，以及 B 能否在没有 A 的情况下发生，均不在我们的讨论范围内。

结论 2：Only A Causes B.

这是一个截然不同的结论。该结论不仅明确了 “A 导致 B” 这一关系，更关键的争议点在于：A 是否是导致 B 的唯一原因。

在这种情况下，如果有表述指出 “C 导致 B”，或者 “B 发生了，但 A 并未发生”，就会对结论产生直接影响。这类表述能够削弱结论，因为它们直接证明了 A 并非导致 B 的唯一原因。

这种结论表述上的细微差别，在解题过程中可能起到决定性作用。接下来，我们将结合一道题来具体说明这一点：

Two types of earthworm, one black and one red-brown, inhabit the woods near the town of Millerton. Because the red-brown worm’s coloring affords it better camouflage from predatory birds, its population in 1980 was approximately five times that of the black worm. In 1990, a factory was built in Millerton and emissions from the factory blackened much of the woods. The population of black earthworms is now almost equal to that of the red-brown earthworm, a result, say local ecologists, solely stemming from the blackening of the woods.

Which of the following, if true, would most strengthen the conclusion of the local ecologists?

(A) The number of red-brown earthworms in the Millerton woods has steadily dropped since the factory began operations

(B) The birds that prey on earthworms prefer black worms to red-brown worms.

(C) Climate conditions since 1990 have been more favorable to the survival of the red-brown worm than to the black worm

(D) The average life span of the earthworms has remained the same since the factory began operations.

(E) Since the factory took steps to reduce emissions six months ago, there has been a slight increase in the earthworm population.

我们先来梳理一下题干的论证逻辑：

前提条件

树林里生活着两种蚯蚓：红棕色蚯蚓和黑色蚯蚓。

红棕色蚯蚓的体色伪装效果更好，能躲避食虫鸟类捕食，因此 1980 年其种群数量是黑色蚯蚓的五倍。

工厂排放的污染物让树林变黑，如今两种蚯蚓的种群数量持平。

结论

从前提条件可以提炼出本题的核心结论：树林变黑是导致两种蚯蚓种群数量趋于平衡的唯一原因。

我们的任务是支持这一结论。需要注意的是，题干的论证并不否认 “树林变黑导致两种蚯蚓数量持平” 这一事实，争议的焦点在于：树林变黑是否是导致这一结果的唯一原因。

接下来我们逐一分析选项：

(A) 自从工厂投产以来，米勒顿镇树林里的红棕色蚯蚓数量一直在持续减少。

该选项的内容其实题干已经有所暗示 ， 两种蚯蚓数量持平，一定是红棕色蚯蚓数量减少、黑色蚯蚓数量增加，或者两者兼而有之。但它并没有证明 “树林变黑是唯一原因”，因此无法支持结论。

(B) 捕食蚯蚓的鸟类相比红棕色蚯蚓，更偏爱捕食黑色蚯蚓。

鸟类偏爱捕食黑色蚯蚓，并不代表它们一定能捕捉到更多的黑色蚯蚓。即便假设鸟类确实会优先捕食黑色蚯蚓，这也只能证明 “树林变黑有助于两种蚯蚓数量持平”，但无法证明 “树林变黑是唯一原因”，因此不是正确答案。

(C) 1990 年以来的气候条件，对红棕色蚯蚓的生存比对黑色蚯蚓的生存更有利。

该选项指出，另一个可能影响蚯蚓种群数量的因素（气候），并没有起到推动两种蚯蚓数量持平的作用 —— 毕竟气候更利于红棕色蚯蚓生存，按理说红棕色蚯蚓的数量应该保持优势。这就排除了气候因素的干扰，从而提升了 “树林变黑是唯一原因” 这一结论成立的可能性。虽然它无法百分之百证实结论，但确实起到了支持作用，因此是正确答案。

(D) 自从工厂投产以来，蚯蚓的平均寿命并未发生变化。

该选项并未对两种蚯蚓进行区分，只是笼统地指出蚯蚓的平均寿命没有变化。而本题的结论围绕的是两种蚯蚓种群数量的相对变化，因此该选项与结论无关。

(E) 自从工厂在六个月前采取减排措施以来，蚯蚓的种群数量出现了小幅增长。

与选项 D 类似，该选项同样没有区分两种蚯蚓，只是提及蚯蚓种群的整体数量增长，与 “两种蚯蚓数量持平的原因” 这一核心结论无关。

综上，本题的正确答案是 C。

大多数非英语母语考生都会有一个疑问：我该如何提高自己的 GMAT verbal部分成绩？在我们的教材、课程以及贴子中，会分享很多解题技巧。但有一件事，是我们会强烈建议学生主动去做的： 那就是坚持广泛英文文本阅读，无论是小说、纪实文学、杂志，还是日报，都可以作为阅读素材。阅读优质文本，能帮助考生培养对规范英语的语感。与此同时，掌握英语的惯用表达也至关重要，而这类知识是无法仅通过课堂教学来传授的。相信我们大多数人都曾有过这样的想法：英语里的一些表达实在是不合常理，不是吗？

举几个例子：

“Fat chance” 和 “slim chance” 表达的意思竟然完全相同 ，它们难道不应该是反义词吗？

可 “wise man” 和 “wise guy” 的含义却截然相反 ，这简直让人费解！

房子 “burns up”（烧毁）的同时，也在 “burns down”（焚毁）；我们填写表格时，既可以说 “fill in a form”，也可以说 “fill out a form”。

更不用说，英语中还有大量一词多义的情况 ，就拿“critical” 这个词来说，根据语境的不同，它既可以表示 “严重的”，也可以表示 “重要的”，还可以表示 “爱挑毛病的”。

所以，想要吃透英语里这些细微的差异和特殊的用法，你就必须投入足够的时间进行阅读。今天我们就来看一道真题，很多考生之所以会做错这道题，根源就在于他们对英语常用短语的用法不够熟悉。在分析题目之前，我们先来看一组和这道题相关的数据：95% 的考生认为这道题难度较高，超过半数的考生选了错误答案。不仅如此，想要让考生信服这道题的正确答案，也绝非易事。

Some species of Arctic birds are threatened by recent sharp increases in the population of snow geese, which breed in the Arctic and are displacing birds of less vigorous species. Although snow geese are a popular quarry for hunters in the southern regions where they winter, the hunting season ends if and when hunting has reduced the population by five percent, according to official estimates. Clearly, dropping this restriction would allow the other species to recover.

Which of the following, if true, most seriously undermines the argument?

(A) Hunting limits for snow geese were imposed many years ago in response to a sharp decline in the population of snow geese.

(B) It has been many years since the restriction led to the hunting season for snow geese being closed earlier than the scheduled date.

(C) The number of snow geese taken by hunters each year has grown every year for several years.

(D) As their population has increased, snow geese have recolonized wintering grounds that they had not used for several seasons.

(E) In the snow goose’s winter habitats, the goose faces no significant natural predation.

我们先从题干入手 ： 题干要求我们找出最能严重削弱上述论证的选项。

这是一道削弱题。解这类题的黄金法则是：聚焦论证的结论，并找出能够削弱该结论的选项。

我们首先梳理一下这道题的论证逻辑：

雪雁在北极繁殖，然后飞往南方越冬。它们的种群数量正在激增，这对其他鸟类的生存非常不利。当雪雁飞往南方越冬时，南部的猎人会捕猎雪雁，从而减少雪雁的数量。目前存在这样一项限制措施：如果飞往南方越冬的雪雁种群数量因捕猎减少 5%，捕猎活动就必须停止。也就是说，如果有 1000 只雪雁飞往南方越冬，一旦猎人捕猎了 50 只雪雁，捕猎季就会宣告结束。这道题的论证结论是：取消这一限制措施，有助于其他北极鸟类种群的繁衍。按照该论证的逻辑，取消限制后，猎人就能捕猎更多的雪雁，从而减少雪雁的种群数量。

这道题的结论具体是什么呢？结论就是：显然，取消这一限制措施，将有助于其他鸟类种群数量的恢复。

要削弱这个结论，我们需要找出这样的选项：它能够说明，即便取消了这一限制措施，其他鸟类的种群数量也未必能恢复。也就是说，就算取消 “雪雁数量减少 5% 后就停止捕猎” 的限制，允许猎人无限制捕猎雪雁，雪雁的种群数量也不会因此出现明显下降。

现在，我们先来看选项 (B)：

(B) 多年以来，这一限制措施从未导致雪雁捕猎季比原定时间提前结束。

这个选项它是说 “多年以来，雪雁捕猎季一直都比原定时间提前结束” 吗？还是恰恰相反，指 “这一限制措施自多年前出台以来，从未真正生效过”？

对于英语母语者和阅读量较大的考生来说，这个选项的含义或许显而易见，但很多非英语母语的考生却会在这个选项上栽跟头，直接忽略了正确答案 。（这个选项就是本题的正确答案。）

这个选项的正确含义是后者：这一限制措施已经多年没有真正生效了。这就意味着，这项限制措施实际上并没有起到多大的作用。多年以来，捕猎活动从未触发过这项限制措施，因为猎人捕猎的雪雁数量，始终不足飞往南方越冬的雪雁种群总数的 5%。也就是说，如果捕猎季的时间是从 1 月到 6 月，那么每年的捕猎季都会持续到 6 月才结束。哪怕猎人在整个捕猎季内持续捕猎，捕获的雪雁数量也达不到种群总数的 5%（假设共有 1000 只雪雁飞往南方越冬，那么猎人捕获的雪雁数量还不到 50 只）。

如此一来，无论这项限制措施是否存在，猎人每年捕获的雪雁数量其实都相差无几。所以，即便取消这项限制措施，允许猎人随心所欲地捕猎雪雁，情况也不会发生任何改观 ， 因为猎人原本就不会捕猎太多的雪雁。这就说明，取消限制措施后，现状很可能不会发生任何变化，从而有力地削弱了 “取消限制措施有助于其他鸟类种群数量恢复” 这一结论。

那么，当考生们忽略选项 (B) 之后，他们又会把目光投向哪个选项呢？一部分考生会选择选项 (C)，但更多的考生会掉进选项 (D) 的陷阱。接下来，我们逐一分析其他选项：

(A) 雪雁的捕猎限制措施是多年前为应对雪雁种群数量急剧下降的问题而出台的。

该选项与本题的论证逻辑无关。这一限制措施是在何时、因何原因出台的，对 “取消限制措施是否有助于其他鸟类种群恢复” 这一结论没有任何影响。

(C) 过去几年间，猎人们每年捕获的雪雁数量都在持续增长。

该选项并未说明取消限制措施会对雪雁种群数量产生何种影响，它只是陈述了一个过去的事实， 猎人捕获的雪雁数量逐年递增。不仅如此，如果猎人捕获的雪雁数量已经接近雪雁种群总数的 5%，那么该选项反而会在一定程度上强化题干的结论：一旦取消限制措施，猎人就可以捕猎更多的雪雁，从而帮助其他鸟类种群恢复数量。而我们需要找出的，是能够削弱题干结论的选项。

(D) 随着种群数量的增加，雪雁重新占据了它们已经多年未使用的越冬栖息地。

该选项中的 “越冬栖息地” 指的是雪雁飞往越冬的南部地区。这一选项只是告诉我们，雪雁的种群数量增长迅猛，它们的活动范围也在不断扩大，但它并没有说明 “取消限制措施、允许猎人无限制捕猎雪雁” 这一做法不会产生任何效果。恰恰相反，该选项甚至会让题干的论证变得更有说服力：如果雪雁的活动范围不断扩大，那么猎人就能在更多区域捕猎雪雁，取消捕猎限制措施或许真的能起到积极作用。

(E) 在雪雁的越冬栖息地中，雪雁并没有面临重大的天敌威胁。

本题的核心是探讨捕猎活动对雪雁种群数量的影响，因此雪雁在越冬栖息地是否有天敌，与题干的论证逻辑无关。

GRE数学部分离不开数学运算，但它又绝非单纯的数学比拼。哪怕你更擅长语言类题型，只要善于发挥自身优势，再掌握几条超简单的数学法则，就能在特定的数量推理题型中占据上风。下面就为你拆解，如何将这个思路运用到数据分析题的解答中。

先读懂图表，再着手解题

解读数据分析题里的图表，和阅读阅读理解文章的逻辑是相通的。要聚焦图表的核心结构与关键信息，在理解透彻和把控时间之间找到平衡点。我接触过的大多数学生，都需要在审题阶段，比自己预想的多花一些时间研究图表。一旦你理清了图表要传达的信息，后续的问题就会变得豁然开朗，解题效率也会大幅提升。

那么，该如何读懂图表背后的 “信息” 呢？可以遵循这几个步骤：

1. 先看图表标题（如果有的话）。
2. 若图表带有坐标轴，务必仔细阅读坐标轴的标注。
3. 认真查看图表图例。

所谓读懂图表，就是能够用概括性的语言，说清从这张图表中可以获取哪些类型的信息。

同时，在这个阶段还要留意，题目是否给出了总计或整体数值。比如饼图的图例里，可能会标注出总金额、总人数或总户数等数据；表格中或许会有一行专门列出每一列的合计值。如果一时无法理解图表的含义，果断跳过即可！时间充裕的话，之后可以再回头研究。硬着头皮去解答一张读不懂的图表，纯粹是浪费时间和精力。

书写演算过程，宜详不宜简

解答数据分析题时，人很容易分心或陷入混乱。如果刚读完问题，就立刻去图表里找数据、做计算，很可能会在过程中忘记题目的要求，或是混淆关键信息。所以，一定要善用你的语言优势，还有手边的草稿纸！

首先，把题目抄在草稿纸上，必要时可以用简写形式。很多数据分析题其实并不涉及复杂计算，比如题目可能只是问 “日均气温超过 80 华氏度的天数”。

若题目需要进行数学运算，这时就要先想清楚，解题需要用到哪些数据。例如，题目要求计算 2006 年至 2010 年的日均气温变化百分比，就可以把公式先写出来：

变化百分比=100×【（2010年气温−2006年气温​）/2006年气温】

这种方式比直接代入数字计算更直观，也能清晰地明确需要从图表中提取哪些数据。

另外，一定要把解题用到的数据都记录在草稿纸上，而不是直接从图表里提取数字、输入计算器计算。这样做的好处是，万一抄错或看错了数据，你可以对照草稿纸的记录进行复查；如果需要更换解题思路，也不用再重新去图表里找一遍数据。

演算过程要做到工整且详尽。数据分析题的数学运算通常并不难，难点在于理清思路、避免低级错误，比如数错数据点、用错除数等。发挥你的逻辑推理优势，借助草稿纸，就能有效规避这类失误。

吃透百分比与统计学知识（别忘了善用计算器）

掌握几条简单的数学法则，能让你在数据分析题中事半功倍。这类题目里，难度较高的计算往往集中在百分比和统计学这两个领域（比如求平均值、值域等）。可以在平时的备考中，专门抽出时间攻克这两个知识点。

testace上百分比章节的开篇题目质量很高，能帮你训练快速计算 “求一个数的百分之几” 和 “百分比变化” 的能力。

想要学习 “求一个数的百分之几” 类题目的解题方法，也可以参考我们之前发布的文章。

若想做到真正的融会贯通，还要学会规避这类题目中最常见的错误。比如计算百分比变化时，很容易把公式列错。切记，百分比变化的公式结构永远是变化量 ÷ 原始量，而非变化量 ÷ 新量！

数据分析题常常允许估算结果，一定要抓住这个便利条件。简化数字之后，计算过程会变得更加直观。但也要警惕潜在的陷阱：比如因为误解了图表的刻度，或是看错了坐标轴标注，导致估算结果出错。这也是为什么强调，一定要在解题前把图表通读透彻。

其实，GRE 中的很多数学题，本质上考验的都不是纯粹的计算能力。（而且，你的数学水平，很可能比自己想象的要好得多！）招生委员会并不会过分看重你是否擅长计算三角形的斜边，或是求出一个班级学生的平均身高。他们更关注的，是你的条理性和逻辑推理能力 —— 而这些能力，你早已具备。善用这些优势，你就能攻克 GRE 数量推理中最难的一批题型。

上次我们介绍了一种超简便的方法，专门应对“求一个数是另一个数的百分之几”类的数量推理题，例如下面这道例题：

xy is 20% of z. In terms of y, what percent of x is z?

但并非所有百分比问题都属于此类。有一类难度较高的题目，会在此基础上进一步延伸，例如以下两种提问方式：

1. February’s profits were what percent higher than January’s?
2. By what percent did the number of students in the school decrease from 2010 to 2011?

不过好在，这类问题同样有一套简单的解题思路。我们结合具体数值来讲解。

假设某百货商店一件大衣原价为 100 美元，现降价 20% 出售。计算售价的方法有两种：

用100%−20%=80%，即大衣现价是原价的80%。再用100×80%=80美元，即可得到现价。

先算出100美元的20%是20美元，这是折扣金额。再用原价减去折扣：100−20=80美元，结果一致。

由此可知，100 美元降价 20% 后得到 80 美元，也就是说，80 美元比 100 美元少 20%。

接下来我们看相反的情况：一件大衣原价 80 美元，现涨价 20% 出售。同样有两种计算方式：

用100%+20%=120%，即大衣现价是原价的120%。再用80×120%=96美元，得到现价。

先算出80美元的20%是16美元，这是涨价金额。再用原价加上涨幅：80+16=96美元。

也就是说，80 美元涨价 20% 后得到 96 美元，而非 100 美元。

这个结果似乎有些反直觉，我们本能地会认为，一个数先降 20% 再涨 20%，应该会回到原来的数值。而解决百分比增减问题的第一个关键，就是要记住“增加” 和 “减少” 的计算逻辑不能互换 。80 美元确实比 100 美元少 20%，但反过来，100 美元并不是比 80 美元多 20%。

如果忽视这一点，就很容易在这类题目上出错，例如：

10% more students scored an A on the final exam than scored an A on the midterm. If 110 students scored an A on the final exam, how many students scored an A on the midterm?

如果直接用 110 减去 10%，得到 99 这个答案，那就错了。原因在于 “比…… 多百分之几” 和 “比…… 少百分之几” 的计算逻辑并不对称。题目明确说明，110 是期中考试得 A 人数的 110%，因此不能用 110 直接减少 10% 来计算。

正确的做法是：设期中考试得 A 的学生人数为 m，将文字表述转化为数学等式。一个数增加 10%，等价于乘以 1.1，因此可得：

1.1m=110

m=110÷1.1=100

正确答案是 100，而非 99。我们可以代入数值验证：若期中考试有 100 人得 A，那么增加 10% 后，正好是 110 人，与题目条件相符。

总结来说，解决这类问题的核心原则是：严格按照题目表述列等式，明确区分 “增加” 与 “减少” 的表述。题目中写的是 “比…… 多百分之几”，就必须用对应的数值去乘以 百分比，而非相反。遇到未知量时，直接设变量表示，再通过解方程得出答案即可。

我们再试一道题：

Pat’s average weekly income from her part-time job was 15% more in September than it was in July. Her average weekly income in July was 10% less than it was in August. If her average weekly income in September was $207, what was her average weekly income in August?

设Pat 7 月的周均收入为 j，8 月的为 a。

根据 “9 月比 7 月高 15%”，可列等式：1.15j=207，解得 j=180。

再根据 “7 月比 8 月低 10%”，即 7 月收入是 8 月的 90%，可列等式：0.9a=180，解得 a=180÷0.9=200。

因此，正确答案是 200 美元。同样可以代入验证，确保所有条件均成立。

几何是 GRE 数学中两极分化最严重的考点。如果你本身就擅长几何，那这篇文章对你来说意义不大！但如果你宁愿去拔牙，也不想计算斜边长度，这套解题技巧就是为你量身打造的。

先来看一道数量比较题：

数量 A：边 AB 的长度

数量 B：6

你可能会下意识地套用直角三角形的相关定理，把已知边长代入勾股定理公式 a^2+b^2=c^2 进行计算。

算到这里，你大概率会选 A，对吗？大错特错！ 这道题的正确答案其实是 D。原因很简单 , 这道题根本不是考直角三角形定理，哪怕图形看起来完全就是直角三角形，题目也没有明确说明△ABC 是直角三角形。它真正的考点，是三角形边长的取值范围定理。

根据这条定理，三角形的任意一边长，都必须小于另外两边长之和。否则，这个三角形就无法 “闭合”，也就不能构成真正的三角形。

回到这道题，我们能得出的唯一结论是：1<AB<9。AB 的长度可能大于 6，也可能小于 6，因此无法确定 A 和 B 的大小关系，答案选 D。

不过，这道题带给我们的启示，并不在于数学公式本身，而在于一个关键原则：哪怕你把直角三角形的所有定理背得滚瓜烂熟，也要先确认这些定理是否适用于当前题目。

勾股定理是直角三角形中最实用的定理，适用于所有直角三角形。但我发现，很多讨厌几何的 GRE 考生，总会反复犯两个错误，希望你能避开。

第一，牢记在公式 a2+b2=c2 中，c 始终代表最长的边，也就是直角所对的斜边。如果你的数字敏感度不强，很容易把两条已知边的数值代错位置，算出完全不合理的结果。

第二，不是所有直角三角形都是特殊直角三角形。特殊直角三角形只有两类 ——45-45-90 等腰直角三角形和 30-60-90 直角三角形，在所有直角三角形中占比极低。勾股定理适用于所有直角三角形，但特殊直角三角形的边长比例定理，只有在已知角度或对应边长关系时才能使用。以下是这类定理的两种常见适用场景：

• 若直角三角形的两条直角边长度相等，则其三个内角为 45°-45°-90°，反之亦然。
• 若直角三角形的斜边长是短直角边的 2 倍，则其三个内角为 30°-60°-90°，反之亦然。

这两条规则的表述，可能和你背过的特殊直角三角形定理不太一样。我刻意省略了那些可以通过勾股定理推导出来的内容，就是为了让核心规则更好记。这里有个小技巧：就算你记不清特殊直角三角形的边长比例，直接用勾股定理计算就行！

你可以死记硬背这类三角形的第三条边长公式，也可以直接代入已知的两条边长，用勾股定理算出结果。

45-45-90 等腰直角三角形也是同理：你可以直接套用公式，也可以用勾股定理推导。

你需要做的，是牢记前面那两个核心要点，分清特殊直角三角形的判定条件和适用范围。当然，你也可以把边长比例背下来，但就算忘了也没关系 —— 自己用勾股定理推导，其实非常简单。

最后，给所有讨厌几何的考生一条终极建议：明确解题目标，再选择对应定理。

• 如果要计算三角形的面积，你不需要知道任何内角的度数，通常也不需要知道所有边长。直角三角形的两条直角边刚好可以作为底和高来计算面积，这只是一种巧合。
• 如果要计算内角的度数，你不需要知道任何边长。解题时优先套用你熟悉的角度相关定理，比如任意三角形的内角和为 180°。只有特殊直角三角形，才存在边长和角度的对应关系。
• 如果要计算边长，优先找直角三角形！找到直角三角形后，直接用勾股定理计算。除非确定是特殊直角三角形，否则可以忽略其他角度的数值。如果找不到直角三角形，也无法通过作辅助线构造直角三角形，那就考虑用其他定理 —— 比如这篇文章开头那道题用到的三角形边长取值范围定理。

核心要点总结

1. 没有明确说明是直角三角形之前，切勿套用直角三角形的相关定理！
2. 勾股定理是直角三角形中最实用的定理，但它仅适用于边长计算。
3. 在 GRE 数学中，只有特殊直角三角形才存在边长与角度的对应关系。牢记上文提到的简化版判定规则，明确这类定理的适用场景。
4. 解题目标不同，选用的定理也不同。求面积就用面积公式，求角度就用角度定理，求斜边长度就别死磕角度相关的知识点。
5. 不要慌！解几何题只是一系列逻辑推理的过程。只要你步步为营，保持演算步骤清晰工整，就一定能攻克 GRE 几何考点。