在迈克尔・刘易斯所著的《高频交易员》书中，作者提到了一个有趣的事：一位求职者在对冲基金的面试中被问到这样一个问题：3599 是质数吗？ 想必你此刻的 GMAT 应试直觉已经在提醒你，这个问题的解法，恰恰能运用到 GMAT 考试的解题技巧中。接下来我们就来拆解这个问题。


首先，这是一道压力面试题，所以无论解题方法是什么，都绝不会涉及繁琐复杂的计算。此外，证明一个大数不是质数，要比证明它是质数容易得多。因此，我们的思路应该是寻找 3599 除了 1 和它本身之外的其他因数。


在 GMAT 考试中，当遇到数字不规整的数值时，不妨联想其附近整数的特性。本题中，3599 可以转化为 3600−1。3600 是一个特征明显的整数，它是完全平方数，即 602；而 1 同样是完全平方数，即 12。因此，3600−1 可以写成平方差的形式：


3600−1=602−12


我们熟知平方差公式：x2−y2=(x+y)(x−y)。我们设 x=60，y=1，代入公式可得：


602−12=(60+1)(60−1)=61×59


由此可知，61 和 59 都是 3599 的因数。既然 3599 存在 1 和自身以外的因数，就说明它不是质数。


不过我们言归正传，接下来分析几道运用该公式解题的 GMAT 真题。


真题 1


999,9992−1=


A) 1010−2


B) (106−2)2


C) 105(106−2)


D) 106(105−2)


E) 106(106−2)


我们先观察式子的结构：只要看到一个数的平方（或任意偶数次方）减去 1，就可以判定这是平方差公式的应用场景，因为 1 本身就是完全平方数。因此，原式可以转化为：


999,9992−12


代入平方差公式计算：


999,9992−12=(999,999+1)(999,999−1)


(999,999+1)(999,999−1)=1,000,000×999,998


再对照选项可以发现，所有答案均以 10 为底数，因此我们还需要对结果做进一步转化。我们知道 1,000,000=106（10 的指数等于数字末尾 0 的个数）；同时 999,998=1,000,000−2=106−2。


将转化后的数值代入可得：


1,000,000×999,998=106(106−2)


因此，本题的正确答案是 E。


真题 2


Which of the following is NOT a factor of 38 – 28?


A) 97


B) 65


C) 35


D) 13


E) 5


看到这个式子你会很快发现，直接计算 38−28 会涉及大量繁琐运算。但幸运的是，这是两个数的偶次幂之差，我们可以再次运用平方差公式来解题。


首先，将原式变形为平方差的形式：


38−28=(34)2−(24)2


我们先计算出 34=81，24=16，代入可得：


(34)2−(24)2=812−162


再套用平方差公式计算：


812−162=(81+16)(81−16)=97×65


从这个结果我们可以直接看出，97 和 65 都是 38−28 的因数。本题要求选出 “非因数” 选项，因此 A 和 B 可以直接排除。


接下来我们对 65 进行质因数分解：65=13×5。由此可知，3^8−2^8 的质因数包含 97、13 和 5，因此 13 和 5 也是原式的因数，D 和 E 也可以排除。


最终剩下的选项就是 C，这就是本题的答案。


解题要点总结


  • GMAT 考试并不考察你进行繁琐计算的能力。因此，当题目要求计算两个大数的差值时，很有可能可以将其转化为平方差的形式来求解。
  • 看到形如(大数)2−1的式子时，这一定是平方差公式的应用场景，因为 1 是完全平方数。
  • 当题目给出的是两个数的偶次幂之差时，同样可以运用平方差公式求解 ,所有整数的偶次幂，本质上都是完全平方数。