上次我们介绍了一种超简便的方法，专门应对“求一个数是另一个数的百分之几”类的数量推理题，例如下面这道例题：


xy is 20% of z. In terms of y, what percent of x is z?


但并非所有百分比问题都属于此类。有一类难度较高的题目，会在此基础上进一步延伸，例如以下两种提问方式：


  1. February’s profits were what percent higher than January’s?
  2. By what percent did the number of students in the school decrease from 2010 to 2011?


不过好在，这类问题同样有一套简单的解题思路。我们结合具体数值来讲解。


假设某百货商店一件大衣原价为 100 美元，现降价 20% 出售。计算售价的方法有两种：


用100%−20%=80%，即大衣现价是原价的80%。再用100×80%=80美元，即可得到现价。


先算出100美元的20%是20美元，这是折扣金额。再用原价减去折扣：100−20=80美元，结果一致。


由此可知，100 美元降价 20% 后得到 80 美元，也就是说，80 美元比 100 美元少 20%。


接下来我们看相反的情况：一件大衣原价 80 美元，现涨价 20% 出售。同样有两种计算方式：


用100%+20%=120%，即大衣现价是原价的120%。再用80×120%=96美元，得到现价。


先算出80美元的20%是16美元，这是涨价金额。再用原价加上涨幅：80+16=96美元。


也就是说，80 美元涨价 20% 后得到 96 美元，而非 100 美元。


这个结果似乎有些反直觉，我们本能地会认为，一个数先降 20% 再涨 20%，应该会回到原来的数值。而解决百分比增减问题的第一个关键，就是要记住“增加” 和 “减少” 的计算逻辑不能互换 。80 美元确实比 100 美元少 20%，但反过来，100 美元并不是比 80 美元多 20%。


如果忽视这一点，就很容易在这类题目上出错，例如：


10% more students scored an A on the final exam than scored an A on the midterm. If 110 students scored an A on the final exam, how many students scored an A on the midterm?


如果直接用 110 减去 10%，得到 99 这个答案，那就错了。原因在于 “比…… 多百分之几” 和 “比…… 少百分之几” 的计算逻辑并不对称。题目明确说明，110 是期中考试得 A 人数的 110%，因此不能用 110 直接减少 10% 来计算。


正确的做法是：设期中考试得 A 的学生人数为 m，将文字表述转化为数学等式。一个数增加 10%，等价于乘以 1.1，因此可得：


1.1m=110


m=110÷1.1=100


正确答案是 100，而非 99。我们可以代入数值验证：若期中考试有 100 人得 A，那么增加 10% 后，正好是 110 人，与题目条件相符。


总结来说，解决这类问题的核心原则是：严格按照题目表述列等式，明确区分 “增加” 与 “减少” 的表述。题目中写的是 “比…… 多百分之几”，就必须用对应的数值去乘以 百分比，而非相反。遇到未知量时，直接设变量表示，再通过解方程得出答案即可。


我们再试一道题：


Pat’s average weekly income from her part-time job was 15% more in September than it was in July. Her average weekly income in July was 10% less than it was in August. If her average weekly income in September was $207, what was her average weekly income in August?


设Pat 7 月的周均收入为 j，8 月的为 a。


根据 “9 月比 7 月高 15%”，可列等式：1.15j=207，解得 j=180。


再根据 “7 月比 8 月低 10%”，即 7 月收入是 8 月的 90%，可列等式：0.9a=180，解得 a=180÷0.9=200。


因此，正确答案是 200 美元。同样可以代入验证，确保所有条件均成立。