GMAT 考试中，有一类高频题型专门考察两位数数位倒置后数字的性质。由于这类题目出现频率较高，花点时间深入理解这类数字的特性，能帮你快速解题。和 GMAT 的很多考点一样，我们只需随机选取几组数位倒置的两位数，结合代数方法分析，就能总结出通用规律。


我们可以双管齐下，既列举实例，也用代数推导。


首先，列出几组随机的数位倒置两位数：{34, 43}、{17, 71}、{18, 81}。接下来我们分别计算每组数字的和与差，看看能否发现规律。


先算加法：34+43=77；17+71=88；18+81=99


有趣的是，每组数字的和都是 11 的倍数。这个规律适用于任意一组数位倒置的两位数。


再算减法：43−34=9；71−17=54；81−18=63


同样能发现规律：每组数字的差都是 9 的倍数。


我们可以用代数方法轻松证明这个结论。


假设一个两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，那么这个两位数可以表示为 10a+b。


（如果不好理解，可以代入具体数字验证。比如数字 34，这里 a=3，b=4，代入公式就是 10×3+4=34。原理很简单：十位上的数字代表几个十，因此需要乘以 10。）


如果将这个两位数的数位倒置，新的两位数就是 10b+a。


我们先计算两数之和：(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)


由于 a 和 b 都是整数，因此两数之和一定是 11 的倍数。


再计算两数之差：(10a+b)−(10b+a)=9a−9b=9(a−b)


同理，两数之差一定是 9 的倍数。


掌握这个规律后，再看 GMAT 真题，你会发现解题变得轻而易举。


真题 1


The positive two-digit integers x and y have the same digits, but in reverse order. Which of the following must be a factor of x + y?


A) 6


B) 9


C) 10


D) 11


E) 14


如果理解了上面的推导过程，这道题几乎不用思考就能选出答案。我们已经证明，数位倒置的两个两位数之和是 11 的倍数，因此 11 一定是其因数。


答案是 D。是不是很简单？


真题 2


If a two-digit positive integer has its digits reversed, the resulting integer differs from the original by 27. By how much do the two digits differ?


A) 3


B) 4


C) 5


D) 6


E) 7




方法一：代入数字验证


我们可以结合选项来选取数字。假设先看选项 B，数字之差为 4，我们选取数字 84 和 48，计算差值：84−48=36。这个差值比题目要求的 27 大，说明两个数字的差距应该更小。因此答案必然小于 4，直接锁定选项 A。


（如果担心这个结论不够严谨，可以验证差值为 3 的情况，比如数字 41 和 14，计算差值：41−14=27，与题目条件完全吻合。）


方法二：代数推导


设原数为 10a+b，数位倒置后的新数为 10b+a。根据题意，两数之差为 27，可列出方程：


(10a+b)−(10b+a)=27


化简方程：


9a−9b=27


两边同时除以 9，可得：


a−b=3


两种方法都能轻松得出答案，结果同样是 A。


解题要点总结


刷过几百道 GMAT 练习题后你会发现，有几种解题策略适用于大量不同题型 , 比如代入数字法、选项验证法、基础代数运算，或是运用你已经内化的数字性质规律。


就本题而言，需要牢记的核心规律是：

  1. 数位倒置的两个两位数，和是 11 的倍数；
  2. 数位倒置的两个两位数，差是 9 的倍数。


通常来说，只要某类题型在OG中出现超过一次，就值得花时间深入研究，总结规律。