A group consists of both men and women. The average (arithmetic mean) height of the women is 66 inches, and the average (arithmetic mean) height of the men is 72 inches. If the average (arithmetic mean) height of all the people in the group is 70 inches, what is the ratio of women to men in the group?

这是一道。该问题包含两个群体，且两个群体的平均身高各不相同。当两个群体合并计算平均身高时，整体平均值会发生变化。这类题目可能会要求你计算其中一个群体的人数、两个群体的数量关系、某一群体的平均身高，或是其他相关量。如果试图死记硬背解题公式，一旦题目形式与记忆的内容稍有不同，你就会陷入困境。但只要稍加变通、通过逻辑推理，你就能快速解决任何加权平均数问题。具体方法如下：

把整体平均身高想象成跷跷板的。

计算每个群体的身高与整体平均值的差值。在这道题中，女性的平均身高比整体均值低 4 英寸，男性的平均身高比整体均值高 2 英寸。因此，我们可以把女性群体放在支点左侧 4 英寸的位置，男性群体放在支点右侧 2 英寸的位置。

如果你玩过跷跷板就会知道：离支点越远，自身重量的 “影响权重” 就越大。一个站在跷跷板最外侧的人，甚至可以平衡一个离支点更近、体重更重的人。因此，这道题的模型应该是这样的：

女性群体到支点的距离是男性群体的两倍，因此她们的 “权重占比” 也是男性的两倍。要让跷跷板保持平衡，男性的人数就必须是女性的两倍。

此时跷跷板达到平衡状态，这道题也就迎刃而解了 —— 群体中的男女比例为 1:2。

如果不知道每个群体的数值与整体均值的差值，该怎么解题呢？来看下面这道题：

The average (arithmetic mean) of 13 numbers is 70. If the average of 10 of these numbers is 90, what is the average of the other 3 numbers?

画出跷跷板模型：右侧放 10 个数字，左侧放 3 个数字。由于这 10 个数字的平均值为 90，与整体均值的差值为 20，因此它们位于支点右侧 20 个单位的位置。我们暂时不知道左侧 3 个数字与支点的距离（不过可以确定的是：因为左侧数字的数量更少，要让跷跷板平衡，它们与支点的距离必须大于 20 个单位）。

当跷跷板平衡时，左侧 3 个数字与支点的距离是多少？左侧数字的数量是右侧的103​，因此，要使跷跷板平衡，左侧每个数字的 “权重占比” 必须是右侧的310​倍，对应的与支点的距离也必须是右侧的310​倍。

计算可得：10​/3  ×20=200​/3。但这并不是最终答案 ，这个数值只是左侧 3 个数字与整体均值的差值。由于左侧数字的数值低于整体均值，因此它们的平均值为70−200/3​=10​/3。

这种方法甚至可以用于解决部分百分数问题。来看最后一道例题，建议你先尝试独立解题，再继续阅读。

高纤 X 麦片的膳食纤维含量为 55%，高纤 Max 麦片的膳食纤维含量为 70%。谢尔登将两种麦片混合成一碗膳食纤维含量为 65% 的混合麦片。若这碗混合麦片的总重量为 12 盎司，那么其中高纤 X 麦片的重量是多少盎司？

我们可以这样构建跷跷板模型：

高纤 X 麦片的纤维含量与混合麦片的差值，是高纤 Max 麦片的两倍，因此它的 “权重占比” 也是后者的两倍。要让跷跷板保持平衡，高纤 X 麦片的重量必须是高纤 Max 麦片的一半。已知混合麦片总重 12 盎司，因此高纤 X 麦片的重量为4 盎司，高纤 Max 麦片的重量为 8 盎司。

这道题给我们的启示是：想在 GRE 考试中取得高分，不必死记硬背大量数学公式。事实上，死记公式会降低你的思维灵活性，还会让你更难发现自己的解题错误。建议你通过逻辑推理，按照本文的思路解决加权平均数问题。你可以在Testace平台中找到更多同类题目进行练习！