今天，我们来系统梳理表达式与方程的概念，以及二者的核心区别。这两个概念看似相近，但理清它们的差异十分必要。

表达式：由数字、变量和运算符号构成。

例如：

x+4

2x-4x^2

5x^2+4x-18

诸如此类……

这些都属于表达式。注意：默认情况下，我们不能将表达式直接等同于0，也无法据此求解变量x的具体值。表达式的取值会随变量x的变化而变化。

举例来说，对于表达式x+4：

若x=1，表达式的值为5；

若x=2，表达式的值为6；

若已知表达式的值为10，则可计算出x=6。

我们不能直接说“求解x+4”，这个表述本身是不成立的。

当我们为一个代数表达式添加等号，使其与某个量相等时，就得到了方程。

以下是将上述表达式转化为方程的几种方式：

x+4=-3

2x-4x^2=0

5x^2+4x-18=3x

此时方程就可以求解了。需要注意的是，方程的右边不一定必须是0。如果等式右边是其他数值，你可以将右边的项移到左边，使等式右边化为0；或者在条件允许的情况下，直接对变量进行分离求解。

求解过程如下：

• x+4=-3

x+7=0

x=-7

• 2x-4x^2=0

2x(1-2x)=0

x=0或x=1/2

• 5x^2+4x-18-3x=0

5x^2+x-18=0

5x^2+10x-9x-18=0

5x(x+2)-9(x+2)=0

(x+2)(5x-9)=0

x=-2或x=9/5

在上述每个方程的求解中，我们都只得到了变量x的有限个取值，这正是方程的特性。

接下来，我们思考“解方程”的本质含义。以二次方程为例具体说明：

二次方程的常见表达形式为：

f(x)=ax^2+bx+c 或 y=ax^2+bx+c

其函数图像是一条抛物线：

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

求解方程ax^2+bx+c=0，本质是求当y=0时，变量x的取值，也就是抛物线与x轴的交点坐标。

求解方程ax^2+bx+c=d，本质是求当y=d时，变量x的取值。最终是否能解出x的取值，取决于a、b、c、d的具体数值。

我们来看一个具体例子：

方程x^2-2x-3=0

因式分解可得(x+1)(x-3)=0

解得x=-1或x=3

这个方程的几何意义是：当函数y=x^2-2x-3的函数值为0时，对应的x取值为-1和3，对应抛物线与x轴的两个交点。

那么，当我们求解方程x^2-2x-3=-3时，解法是完全相同的：

x^2-2x-3+3=0

x(x-2)=0

解得x=0或x=2

也就是说，当函数值y=-3时，对应的x取值为0和2，这一点从函数图像上也能直观地看出来。

同理，当求解y=5时，我们也能算出对应的两个x值。

但如果令y=-5，此时我们无法求出对应的x实数解。因此方程x^2-2x-3=-5无实数解（这也是我们在GMAT考试范围内需要掌握的结论）。

统计学中的三个核心概念：

算术平均数：可以代表或替代一组数据中所有数值的数，它介于这组数据的最小值与最大值之间。

中位数：若数据个数为奇数，中位数是位于中间位置的数值；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数值的算术平均数。

标准差：衡量数据集中各数值围绕平均数离散程度的指标。

一个具有思辨性的问题是：当数据集中的所有数值都以相同方式变化时，这三个统计量会发生怎样的改变？

例如，若将一组数据中的每个数都增加 10，其平均数会如何变化？中位数呢？标准差又会怎样？如果将数据集中的每个元素都乘以同一个数，结果又会如何？

接下来我们将详细分析这些情况。需要提前说明的是，本次分析将以概念理解为主，不会涉及复杂公式的推导，不过你也可以通过推导相关公式来验证这些结论。

当我们讨论一组数据的平均数、中位数或标准差时，可以把这些数值想象成分布在数轴上的点，它们会以特定的方式排布。

例如：——0—a———b—c———————d———e————————f—g———————

情况一：给每个数据元素加上同一个正数

假设给数据集中的每个数都加上同一个正数 x，那么这组数据在数轴上的整体位置会同步向右平移。平移后的新数据 a'、b'、c'、d'、e'、f'、g' 在数轴上的位置如下：

——0——————a’———b’—c’———————d’———e’————————f’—g’——————

可以发现，数据之间的相对位置并未改变，彼此之间的距离也保持不变。（注：图中数据整体向右远离 0 点，以此表示它们在数轴上的平移。）

平均数是位于数据分布中间区域的数值，因此会随着整体数据的平移而增加 x。例如，若原平均数为 d，那么新平均数就是 d'=d+x。

由此可得结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，新平均数 = 原平均数 + 所加的数

同理，中位数作为原数据集中的中间值（如例子中的 d），也会同步增加 x，新中位数为 d'=d+x。

对应结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，新中位数 = 原中位数 + 所加的数

标准差衡量的是数据围绕平均数的离散程度。当整组数据同步平移时，数据与平均数之间的相对距离并未改变，因此离散程度保持不变。标准差与数据在数轴上的绝对位置无关，只与数据和平均数的相对距离有关。例如，数据集 {3, 5, 7, 9} 与数据集 {13, 15, 17, 19} 的标准差是相等的，因为两组数据的相对分布完全一致。

对应结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，标准差保持不变

情况二：将每个数据元素乘以同一个正数

现在我们来分析另一种情况：将数据集中的每个元素都乘以同一个正数。

原数据在数轴上的分布如下：

——0—a———b—c———————d———e————————f—g———————

乘以同一个正数后，新数据在数轴上的分布会呈现扩散状态，如下所示：

——0———a’——————b’———c’————————————d’—————————e—- etc

我们可以通过一个例子理解这一变化：假设初始数据集为 {10, 20, 30}，若将每个数都乘以 2，新数据集就变成了 {20, 40, 60}。数据之间的差值从原本的 10 扩大到了 20。

当每个数据元素都乘以正数 x 时，平均数也会相应地扩大为原来的 x 倍。例如，若原平均数为 d，新平均数 d'=x *d。

由此可得结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新平均数 = 原平均数 × 所乘的数

同理，中位数也会扩大为原来的 x 倍。

对应结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新中位数 = 原中位数 × 所乘的数

这种情况下，标准差会发生怎样的变化呢？答案是会改变！因为数据与平均数之间的距离变大了，离散程度随之增加，标准差也会相应扩大。新标准差是原标准差的 x 倍，这一结论也可以通过标准差公式推导验证。

对应结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新标准差 = 原标准差 × 所乘的数

上述规律同样适用于每个数据元素增加相同百分比的情况，这本质上等同于将每个元素乘以同一个数。例如，若将每个数据元素增加 20%，就相当于把每个元素都乘以 1.2，此时可直接套用情况二的结论。

现在不妨思考一下：如果给一组数据中的每个元素都减去同一个数，或者除以同一个正数，平均数、中位数和标准差又会发生怎样的变化呢？

GMAT考生提出的高频问题中，有一类是考生迫切想搞懂 GMAT 评分算法而提出的疑问：比如 “我最近一次模考答对了 X 题、答错了 Y 题，且只有 Z 道题是连续答错的…… 为什么这次分数比另一次答对 A 题、答错 B 题且连续答错 C 题的模考分数更高 / 更低？”。我们之前在文章中提过，仅仅统计答对和答错的题目数量，并不是预测分数的有效方法。或许能给出的最佳建议：接受那些你无法改变的事，把精力集中在力所能及的地方。

不过，我们也理解大家为了冲高分想要全力以赴的心态，以及对计算机自适应考试机制的求知欲。但需要先明确一点：接下来要讲的内容无法帮你钻评分系统的空子，把这份求知欲用在掌握 GMAT 考点和解题策略上，才是最明智的选择。话虽如此，还是有四大核心原因，导致你的答题模式 （ 比如是考试前期错题更多还是后期更多、是连续答错还是零散出错等 ）无法用来预测分数：

1. 至关重要的 A 参数

项目反应理论会针对每一道 “题目”设置三个指标

B 参数最接近我们所说的 “纯难度” 指标；

C 参数本质上衡量的是猜对正确答案的概率；

A 参数则决定了这道题在评分系统中的权重。

没错，有些题目在评分时 “占比更高”，而且这和题目在考试中的位置无关。

为什么要这样设置？我们可以结合生活场景理解：假设你想在所在城市买一套房，你可能会向多人咨询，比如该区域的房地产市场行情、房贷利率、房屋持有附加成本、未来出租潜力等等。你会对不同人的意见赋予不同权重：你那位偏爱冒险的朋友，在 “如果我被调到其他城市，这套房子能盈利卖出吗？” 这个问题上的看法，可能就没那么有参考价值（他大概率会说 “市场永远是涨的！”）；但他对小区本身的评价或许很有价值（“千万别低估住在地铁站附近的便利”）。

GMAT 题目也是如此：有些题目具有极强的预测性（比如 90% 的645分以上考生能做对，而635分及以下的考生中只有 10% 能做对）；有些题目的预测性则一般（645分以上考生的正确率是 60%，645分以下考生的正确率是 45%，这种情况下，做对这道题只是 “暗示” 你能上645分，而前者则是 “明确证明”）。

因此，即便你对照模考结果，试图研究 “把错题错在哪个阶段更有利”，你也永远无法知道每道题的 A 参数，自然也就判断不出哪些题目对分数的影响最大。

2. 考点均衡性原则

看到这里，你可能会问：既然如此，考试理论上应该优先出权重高的题目，那 A 参数高的题目难道不该放在前面吗？其实未必。GMAT 极其重视考点的均衡性：如果你碰到了 12 道不等式题，而你的朋友只碰到 2 道，这显然不公平；同理，如果你在考试前期遇到的都是耗时较短的DS题，而别人却要在前期花时间求解类题目，到了最后 10 题才遇到短平快的题目，这也有失公允。

因此，考试会强制在特定阶段安排特定考点的题目，无论这些题目的 A 参数是高是低。到考试结束时，你会接触到各种考点和不同权重的题目 ， 但你永远不知道那些高权重题目到底分布在哪个阶段。

3. 实验性题目

要确定每道题的 A、B、C 参数，GMAT 必须在不同考生群体中对题目进行测试。因此，每个考试科目中都有几道题目不计入总分， 它们只是为了调研而设置。我们的testace模考也是如此。

所以，就算你分析答题模式后发现，这次模考连续错了 3 道题，而另一次模考连续对了 8 道题，但实际上，如果其中有一道或多道是实验性题目，你的错题或对题 “连对 / 连错” 的长度就会大幅缩短。而且你同样无法判断一道题是否计入总分，自然也就无法通过分析答题模式来推断分数计算规则。

4. 题目推送机制 vs 分数计算机制

关于 GMAT 评分，有一种常见的猜测：连续答错多道题，对分数的负面影响远大于零散答错。这种观点的逻辑是：答错 1 题后，系统会重新评估你的能力水平；答错 2 题后，系统就会确定你没那么优秀；答错 3 题后，系统就只会琢磨 “这人到底有多差？”。

但事实上，正如前文所述，“做对→推送更难的题；做错→推送更简单的题” 的题目推送机制，远比大家想象的更复杂，还要兼顾实验性题目和考点均衡性原则，并不是像坊间传言那样简单运作。

更重要的是，即便系统因为你错题而推送了更简单的题目，它也不会逐题直接计算分数。系统逐题预估你的能力，只是为了给你推送最匹配的题目；而最终分数的计算，是基于你所有答题情况，代入算法综合得出的。

因此，连续答错 3 题，可能会暂时拉低系统对你的能力预估，导致下一题难度降低，但你完全可以在接下来的几道题中重新找回状态。当系统最终计算分数时，会综合所有计入总分的题目的 A、B、C 参数，不会考虑题目出现的顺序，它只关注答题的统计数据。

当然，考试前期尽量发挥稳定，避免连续答错多道题，确实是明智的做法。但这么做的原因，更多是因为如果前期或某一阶段连续失误，会让后续的答题难度陡增。如果连续答错 5 题，你就需要连续答对好几道题才能挽回局面，而在这种高风险的考试中，考生长时间失误后很容易出现心态波动，进而引发更多失误。不过，即便出现了连续失误，只要后续能稳住节奏、连续做对题目，你完全有机会扭转颓势。

总结

考完模考后，想要弄清楚分数是怎么算出来的，还想利用评分规则为自己谋利，这是人之常情。但实际上，有很多看不见的因素在影响你的分数，而且你永远无法知晓这些因素的具体情况。因此，把这份好奇心和精力用在分析错题、总结经验上，才是正解， 这样一来，无论评分系统的算法如何设计，都只能给你想要的高分。

人们常说，GMAT考试不要求考生具备课外知识。这种说法的初衷是，让每位考生在备考之初都能站在相对公平的起跑线上，尽量削弱商科背景考生相较于工科或哲学背景考生的优势。当然，课外知识的界定标准其实很难厘清：像“英语字母表有26个字母”“蓝色和红色是两种不同的颜色”这类常识，GMAT备考资料中绝不会专门提及，但相关概念却完全有可能出现在考题当中。

“GMAT不考课外知识”这句话，本质上是成立的，但考生有时需要掌握一些基础概念。考试不会要求你知道上海到广州的距离，但你得知道这两座城市确实存在；考试中涉及不同度量单位换算（比如英里换算成英尺、华氏度换算成摄氏度）时，一定会给出换算标准，但所有普通人都应具备的基础常识，都属于考试的考查范畴。

仔细想想这背后的逻辑：未来的商业人士需要具备出色的推理能力，而推理的依据，必须是人们普遍认同的基本原则。你不需要了解碳税政策的所有影响变量，也不需要掌握漂亮国的选举流程，但你必须知道星期五之后是星期六（星期六之后是星期日）。

下面我们来看一道难度适中的题目，这道题能很好地说明，具备必要的课外知识并进行严谨思考有多么重要：

题目：Tom was born on October 28th. On what day of the week was he born?

1) In the year of Tom’s birth, January 20th was a Sunday.

2) In the year of Tom’s birth, July 17th was a Wednesday.

这是一道DS题，解题的关键在于判断所给条件是否足以得出唯一答案，而无需算出具体是星期几。只要确定答案可以通过条件推导出来，就不必再进行后续计算。

本题要求我们精准确定Tom的生日是星期几。一周只有7天，但要判断具体日期对应的星期数，我们需要一个参照点：要么知道具体年份，要么知道同年某一天的日期对应的星期数（如果这个日期是10月27日就再好不过了）。

条件1给出了同年1月20日的星期数。乍看之下这个条件似乎能解决问题，但有一个关键细节需要注意：该日期在1月。地球绕太阳公转的周期，并不是地球自转周期的整数倍，因此有些年份会在2月29日多加一天，这类年份被称为闰年。1月20日是一个确定的参照点，但由于它在2月28日之前，我们无法确定从1月20日到3月1日究竟是40天还是41天。这种情况下，10月28日对应的星期数会有两种可能，具体取决于当年是否为闰年。因此，条件1单独不充分。

条件2给出的日期在7月。7月处于2月29日之后，不会受闰年闰日的影响，因此这个条件一定是充分的。我们可以简单验证一下：如果7月17日是星期三，那么10月28日就一定是星期一。具体计算过程如下：7月还剩14天，8月有31天，9月有30天，10月过了28天，总计103天；103天等于14周零5天。14周的时长不会改变星期数，因此只需在星期三的基础上往后推5天，得出的结果就是星期一。即便我们不进行具体计算，也能确定条件2单独充分。

值得一提的是，如果某一年的1月20日是星期日，比如2013年，这一年的10月28日就是星期一。2013年不是闰年，所以这一年的7月17日恰好也是星期三，此时两个条件能得出相同的答案。但如果同样是1月20日为星期日的闰年，比如2008年，这一年的10月28日就是星期二，且7月17日也不会是星期三。这正是条件2始终成立，而条件1会出现两种可能性的原因。有些考生会误选选项D，认为两个条件都能单独推出答案。虽然将两个条件结合确实能确定唯一答案，但这样做属于多余——条件2本身就足以解题。因此，本题的正确答案是B。

GMAT考试的核心是考查考生的思维能力，而非知识储备，因此不会对课外知识进行显性考查。但考题中可能会涉及一些基础概念，需要考生运用已知常识进行逻辑推理。你永远不会因为“我压根不知道这个知识点”而做错题，反而可能因为“哎呀，我居然忘了考虑这一点”而失分。GMAT本质上是一场思维能力测试，备考时一定要牢记那些看似不起眼、却可能对解题产生重大影响的常识。

今天，我们要讨论的是一类需要避开数值代入法的题目（但不知为什么，只要看到题目里的变量，很多考生还是执意要用这个方法）。

并非所有含变量的题目都适合数值代入法。如果变量太多，代入数值不仅容易混乱，还很容易出错。除此之外，还有一些其他情形也不适合用这种方法。今天我们就结合一道题来分析，这道题恰好同时存在两个不适合数值代入的问题。

题目： If m, p , s and v are positive, and m/p < s/v, which of the following must be between m/p and s/v?

I. (m+s)/(p+v)

II. ms/pv

III. s/v – m/p

(A) None

(B) I only

(C) II only

(D) III only

(E) I and II both

很多考生一看到m、p、s、v这四个变量，就会立刻代入具体数值，比如令m=1、p=2之类的。

但以下两点应该会让你放弃数值代入法：

变量数量过多，四个变量的组合太多，代入计算时很难全面覆盖，也容易出错。

题目类型为“must be true”，数值代入法并非解答这类题目的最佳策略。比如，你代入某一组数值（如1、2、3、4）后，发现结论I成立，但这只能证明结论I在这一组数值下成立，如何能确定它对所有符合条件的数值组合都成立呢？变量的取值有无穷多种可能，你不可能逐一验证。反之，如果你能找到某一组数值，使得结论I不成立，就能直接判定它“不一定成立”，从这个角度来说，数值代入法有一定作用，但往往需要尝试很多次才能找到反例。因此，解答这类题目，运用概念推理的方法要高效得多。

我们可以借助数轴和平均数的相关概念来解这道题。

已知条件为m/p < s/v，反映在数轴上，二者的位置关系如下：

…………. 0 ……………….. m/p …………………… s/v ……………..

（因为m、p、s、v均为正数，所以m/p和s/v都在0的右侧）

我们先分析结论II和III，因为这两个结论相对容易判断。

结论II：ms/pv

假设m/p和s/v均小于1，那么二者相乘的结果会更小。比如0.2*0.3=0.06，此时乘积ms/pv就不在m/p和s/v之间。

解题技巧：分析数字性质时，可以把数轴划分为四个区间来思考：

小于-1

介于-1和0之间

介于0和1之间

大于1

不同区间内的数字，运算后的变化规律不同。考生需要熟练掌握这些数字的运算特性。

结论III：s/v – m/p

我们来看这样一种情况：

…………. 0 ………………………… m/p … s/v ……….

此时s/v – m/p的结果会远小于m/p和s/v，它在数轴上的位置大概在这里：

………….0………此处…………………m/p … s/v ……….

由此可见，两个分数的差值不一定介于这两个分数之间。

因此，s/v – m/p不一定在m/p和s/v之间。

结论I：(m+s)/(p+v)

这个结论的推导稍显复杂。为了方便理解，我们把四个数字记作N_1=m、N_2=s、D_1=p、D_2=v，对应的两个分数就是N1/D1和 N2/D2。

那(m+s)/(p+v)就可以改写为：(m+s)/(p+v)= [(m+s)/2]/[(p+v)/2]=分子的平均值/分母的平均值

分子的平均值一定介于N_1和N_2之间，分母的平均值一定介于D_1和D_2之间。因此，分子的平均值/分母的平均值的结果就会介于N1/D1和N2/D2之间。我们可以通过具体例子验证这个结论。

要判断一个分数是否小于另一个分数，我们可以分五种情况讨论N1/D1 < N2/D2的条件，并分别验证：

N1<N2且D1=D2

例：2/9和4/9

分子平均值/分母平均值=3/9，介于两个分数之间。

N1<N2且D1>D2

例：2/11和4/9

分子平均值/分母平均值=3/10，介于两个分数之间。

N1远小于N2且D1<D2

例：2/9和20/19（N1与N2的差距远大于D1与D2的差距）

分子平均值/分母平均值=11/14，介于两个分数之间。

N1=N2且D1>D2

例：2/9和2/7

分子平均值/分母平均值=2/8，介于两个分数之间。

N1>N2且D1远大于D2

例：4/9和\2/1

分子平均值/分母平均值=3/5，介于两个分数之间。

在上述所有情况下，分子平均值/分母平均值的结果都大于N1/D1且小于N2/D2。你可以多代入几组数值，加深对这个规律的理解。需要注意的是，考场上不需要像这样逐一推导，这道题的核心结论需要牢记：

核心结论：当N1、N2、D1、D2均为正数时，分子平均值/分母平均值的值一定介于N1/D1和N2/D2之间。

因此，m+s/p+v一定介于m/p和s/v之间。

答案：(B)

在生活中，我们经常会看到某些规律周而复始地出现。有些规律并不精确，或者会受外部因素影响而发生巨大变化。有一些规律相对固定，但仍会出现些许波动。还有一些永恒不变的规律。

在GMAT考试中，这种基于固定规律的预判思维，会被用来解决那些原本需要计算器才能完成的数学题。一个常见的例子就是求一个大数的个位数字。例如计算15^16的值，这个数字太大，在考场上我们根本无法快速算出完整结果，但借助个位数字的规律，就能轻松得出答案。任意一个以5结尾的数字，当它与另一个以5结尾的数字相乘时，乘积的个位数字永远都是5。这个规律亘古不变，无论你重复计算多少次，结果都不会改变。类似的规律也适用于所有以0、1、5、6结尾的数字，这些数字无论进行多少次乘方运算，个位数字都始终保持不变。

对于其余6个数字（2、3、4、7、8、9）而言，它们的个位数字在乘方运算中会按照预先确定的周期规律循环变化，这种规律很容易被观察到。以数字2为例：

2^2=4，2^3=8

2^4=16，2^5=32

到这一步，我们会发现计算结果的个位数字回到了初始值2。再乘以2，乘积的个位数字又会变成4（比如2^6=64）；继续乘以2，个位数字则变为8（比如2^7=128）。由此可见，数字2的乘方结果，其个位数字会按照2、4、8、6的顺序循环往复。因此，即便要计算一个极大的2的乘方数（比如2^150），我们也能借助这个规律轻松求出它的个位数字。

下面我们来看一道能够充分体现规律识别技巧的题目：

What is the units digit of (13)^4 * (17)^2 * (29)^3?

(A) 9

(B) 7

(C) 4

(D) 3

(E) 1

看到这道题，很多人可能会希望自己能有计算器可用。但恰恰是因为考场上不允许使用计算器，GMAT才会设置这类题目。如果用计算器解题，根本不需要任何逻辑推理和解题技巧，机械地照搬计算器显示的结果即可。但如果被迫手动解题，你就需要主动去挖掘个位数字的规律，并利用数字的基本性质来为自己解题助力。

首先，我们可以发现题目是三个奇数相乘，而奇数相乘的结果一定还是奇数。据此，我们可以直接排除选项C，因为它是一个偶数。仅仅通过这一步定性分析，我们就无需任何计算就排除了一个错误选项，但要排除剩下的三个错误选项，还需要进一步分析。

首先要明确的是，一个数的个位数字有一个关键特性：它与该数其他数位上的数字毫无关联。这意味着，求(3^4) * (7^2) * (9^3)的个位数字，等价于求(3^4)*(7^2)*(9^3)的个位数字。虽然我们理论上可以算出这几个乘方数的完整值，但实际上我们只需要关注它们的个位数字即可，这能帮我们省去大量繁琐计算，快速锁定正确答案。

我们来逐一拆解计算每个乘方数的个位数字：

3^4=3*3*3*3=9*9=81，个位数字是1

7^2=49，个位数字是9

9^3=9*9*9=81*9=729，个位数字是9

忽略原数除个位外的其他数位，对最终结果没有任何影响，反而能让计算过程变得更快捷。进一步看，我们在计算最终乘积的个位数字时，同样可以忽略各数的十位、百位等数位，直接简化计算：将81*49*729简化为1*9*9

计算结果为81，其个位数字是1，因此这道题的正确答案是选项E。如果不进行计算，我们很难直接看出答案，但实际解题所需的计算量，远比你第一眼看到题目时预想的要少得多。如果是没有备考准备的考生，可能会选择手动计算13^4的完整值，最终算出13^4=28561，这个过程会浪费大量时间（况且，谁会背下来13^4等于多少呢？）。尤其是这道题只关心结果的个位数字，这种全盘计算的方法显然既枯燥又多余。

个位数字问题是GMAT考试的热门题型，因为它能很好地检验考生的逻辑推理能力和解题技巧。我们应当注意到：趋势会不断重现，并形成规律。有时，这些规律的稳定性足以让我们对其进行无限期的推演。

对于因数与整除的相关知识，总是难以理解透彻。一个基础概念的每一种高阶应用，都足以让考生感到措手不及！毋庸置疑，这个考点十分重要，因此我们会为大家全面梳理相关内容。

我们知道：任意两个连续整数的公因数有且只有一个，即1。

这意味着，对于任意整数N，N和N+1的公因数只有1。

同理可得：

对于任意整数N，N+5和N+6的公因数只有1。

对于任意整数N，N-3和N-2的公因数只有1。

对于任意整数N，2N和2N+1的公因数只有1。

看到这里，应该都能轻松理解。

那么，下面这个结论呢？

对于任意整数N，N和2N+1的公因数只有1。

这一结论其实是上述基础概念的简单延伸，却能构成一道88分难度的题目！

我们已经知道，2N和2N+1的公因数只有1。而N的所有因数，都是2N因数的子集——N的因数不会超出2N因数的范围。因此，如果2N和另一个数的公因数只有1，那么N和这个数的公因数也必然只有1。

举个例子，假设N=6：

2N=12，其因数为 1、2、3、4、6、12。

2N+1=13，其因数为 1、13。

显然，2N和2N+1没有除 1 以外的公因数。

再来看N的因数：1、2、3、6，这个集合是2N因数集合的子集。既然2N和2N+1的公因数只有 1，那么作为2N因数子集的N，与2N+1的公因数自然也只有 1。

由此，我们可以推导出更通用的结论（N和M均为整数）：

M和NM+1的公因数只有1。

8和8M+1的公因数只有1。

M和NM-1的公因数只有1。

以此类推……

下面这道题，就是对该知识点的考查，难度达到88分水平：

题目： If x and y are positive integers such that x = 8y + 12, what is the greatest common divisor of x and y?

Statement 1: x = 12u, where u is an integer.

Statement 2: y = 12z, where z is an integer.

解析：已知x=8y+12，我们需要求出x和y的最大公因数。观察等式中的8y，可以直接得出两个推论：

y的所有因数都是8y因数的子集。

x和8y的差值为 12，因此x和8y的最大公因数一定是 12 的因数。

由此可知，x和y可能存在的最大公因数，必然是 12 的因数。

接下来分析两个条件：

条件 1：x=12u（u为整数）该条件表明x是 12 的倍数，但我们无法确定y是否也为 12 的倍数。

若y=3，则x=8*3+12=36（12 的倍数），此时x和y的最大公因数为 3。

若y=12，则x=8*12+12=108（12 的倍数），此时x和y的最大公因数为 12。

因此，条件 1单独不充分。

条件 2：y=12z（z为整数）该条件表明y是 12 的倍数。此时我们是否需要结合条件 1，才能得出答案呢？其实不需要！这道题看似要选 C 选项，但我们必须单独分析条件 2 是否充分。

将y=12z代入原式：

x= 8*12z+12 = 12*(8z+1)

由此可知，x本身就是 12 的倍数，条件 1 其实是多余的。

既然x和y都是 12 的倍数，且二者的最大公因数最大只能是 12，那么x和y的最大公因数必然是 12。

因此，条件 2单独充分。

答案：B

一、余数的基本定义

当整数a除以非零整数b时，若存在整数q和r，使得a = b×q + r，且0 ≤ r ＜ |b|，则称r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

核心要点：

余数r的取值范围是“大于等于0，小于除数的绝对值”，这是余数的本质约束条件，也是判断一个数是否为余数的关键。

除数b不能为0，因为0做除数无意义。

当r = 0时，说明a能被b整除（a是b的倍数，b是a的因数），此时不存在非零余数。

示例：15÷4 = 3……3，其中a=15，b=4，q=3，r=3，满足15=4×3+3，且0≤3＜4；12÷4=3……0，此时12能被4整除，余数为0。

二、余数的核心性质

1. 余数的唯一性

对于任意整数a和非零整数b，满足a = b×q + r（0 ≤ r ＜ |b|）的整数q和r是唯一的。这意味着一个整数除以另一个非零整数，只能得到一个确定的余数。

反例：若将15÷4的余数说成7，虽然15=4×2+7，但7≥4，不满足余数的取值范围，因此7不是15÷4的有效余数。

2. 余数的运算性质

设a÷b = q₁……r₁（0 ≤ r₁ ＜ b），c÷b = q₂……r₂（0 ≤ r₂ ＜ b），则有以下运算规律：

（a + c）÷b 的余数 = （r₁ + r₂）÷b 的余数。 示例：15÷4余3，10÷4余2，（15+10）=25÷4余1，而（3+2）=5÷4也余1，符合规律。

（a - c）÷b 的余数 = （r₁ - r₂ + b）÷b 的余数（若r₁ ≥ r₂，可直接用r₁ - r₂；若r₁ ＜ r₂，需加除数b保证余数非负）。 示例：15÷4余3，10÷4余2，（15-10）=5÷4余1，3-2=1，符合规律；若10÷4余2，15÷4余3，（10-15）=-5÷4，先算2-3=-1，加4得3，-5÷4=-2……3，余数为3，符合规律。

（a×c）÷b 的余数 = （r₁×r₂）÷b 的余数。 示例：15÷4余3，10÷4余2，（15×10）=150÷4余2，（3×2）=6÷4余2，符合规律。

aⁿ÷b 的余数 = （r₁ⁿ）÷b 的余数（n为正整数）。 示例：15÷4余3，15²=225÷4余1，3²=9÷4余1，符合规律。

3. 余数与整除的关系

a能被b整除的充要条件是a除以b的余数r=0。 延伸：若a除以b的余数为r，则（a - r）一定能被b整除，即b是（a - r）的因数。 示例：15÷4余3，15-3=12，12能被4整除。

三、余数的计算方法

1. 直接除法计算

通过整数除法运算，直接得出商和余数。注意计算时需保证余数满足0 ≤ r ＜ |b|。 步骤：① 确定商q：找到最大的整数q，使得b×q ≤ a（当a为负数时，需调整q使b×q ≥ a）；② 计算r = a - b×q；③ 验证r的取值范围是否符合要求。

例：计算（-7）÷3的余数。① 找最大的q使3×q ≥ -7，q=-3（3×(-3)=-9 ≥ -7）；② r = -7 - 3×(-3) = -7 + 9 = 2；③ 0≤2＜3，因此余数为2。

2. 利用余数的运算性质简化计算

当遇到大数、乘方或复杂四则运算时，可先对参与运算的数分别求余，再对余数进行运算，最后得出结果的余数，避免直接计算大数带来的麻烦。

例：计算2⁵⁰÷7的余数。① 先找2的幂次除以7的余数规律：2¹÷7余2，2²÷7余4，2³÷7余1，2⁴÷7余2，2⁵÷7余4，2⁶÷7余1……周期为3；② 50÷3=16……2，即2⁵⁰=2^(3×16+2)=(2³)¹⁶×2²；③ （2³）¹⁶÷7余1¹⁶=1，2²÷7余4，因此1×4=4，即2⁵⁰÷7余4。

四、余数的实际应用场景

1. 周期问题（最核心应用）

生活中很多周期性现象（如日期、星期、循环排列、重复操作等）可通过余数解决，核心思路是：① 确定周期长度T；② 计算总数N除以T的余数r；③ 余数r=0时，对应周期的最后一个元素；r≠0时，对应周期的第r个元素。

例1：2024年1月1日是星期一，求2024年12月31日是星期几？① 2024是闰年，全年366天；② 周期T=7（星期循环）；③ 366÷7=52……2；④ 余数为2，从星期一往后数2天，即星期三，因此2024年12月31日是星期三。

例2：有一串彩灯按“红、黄、蓝、绿”的顺序循环排列，第58盏彩灯是什么颜色？① 周期T=4；② 58÷4=14……2；③ 余数为2，对应周期的第2个颜色（黄），因此第58盏是黄色。

2. 分组问题

将若干物品按固定数量分组时，余数表示最后一组不足一组的物品数量；若要求每组数量相同且无剩余，可通过余数判断是否需要补充或移除物品。

示例：有100个苹果，每8个装一袋，能装几袋？还剩几个？① 100÷8=12……4；② 能装12袋，剩4个；若要正好装完，需再补充4个苹果（8-4=4）或移除4个苹果。

3. 数的整除判断（辅助应用）

利用余数可推导常见数的整除规则，例如：

能被2整除：余数为0（末位是0、2、4、6、8）；

能被3整除：一个数的各位数字之和除以3的余数为0；

能被5整除：余数为0（末位是0或5）；

能被9整除：一个数的各位数字之和除以9的余数为0。

例：判断1234是否能被3整除？① 各位数字之和1+2+3+4=10；② 10÷3余1≠0，因此1234不能被3整除。

4. 密码与编码（拓展应用）

在简单的密码设计中，可利用余数进行加密或解密，例如将字母按顺序编号（A=1、B=2……Z=26），对编号加上某个固定数后除以26取余数，再对应回字母，实现简单加密。

五、常见易错点

余数的取值范围错误：将余数写成大于等于除数或负数，例如把7÷3的余数说成4（正确余数是1），把（-5）÷2的余数说成-1（正确余数是1）。

忽略除数不能为0：讨论余数问题时，除数必须是非零整数，否则无意义。

复杂运算中直接计算大数再求余：未利用余数的运算性质简化计算，导致计算量过大且易出错。

周期问题中余数为0的处理错误：余数为0时应对应周期的最后一个元素，而非第一个，例如第28盏彩灯（28÷4=7……0），对应“红、黄、蓝、绿”的最后一个颜色绿色，而非红色。

六、经典例题解析

例题1：求1999²⁰⁰⁰÷7的余数。

解析：① 先求1999÷7的余数：1999÷7=285……4，因此1999²⁰⁰⁰÷7的余数=4²⁰⁰⁰÷7的余数；② 找4的幂次除以7的周期：4¹÷7余4，4²=16÷7余2，4³=64÷7余1，4⁴=256÷7余4，周期为3；③ 2000÷3=666……2，因此4²⁰⁰⁰=4^(3×666+2)=(4³)⁶⁶⁶×4²，余数=1⁶⁶⁶×2=2；④ 综上，1999²⁰⁰⁰÷7的余数为2。

例题2：有一列数：1，3，5，7，9，1，3，5，7，9……第38个数是多少？这38个数的和是多少？

解析：① 确定周期：数列按“1，3，5，7，9”循环，周期T=5；② 求第38个数：38÷5=7……3，余数为3，对应周期的第3个数“5”；③ 求总和：一个周期的和=1+3+5+7+9=25，7个周期的和=25×7=175，剩余3个数的和=1+3+5=9，总 和=175+9=184；④ 答案：第38个数是5，38个数的和是184。

例题3：一个数除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？

解析：① 列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，33，38……；② 从这些数中找除以7余2的数：3÷7余3（不满足），8÷7余1（不满足），13÷7余6（不满足），18÷7余4（不满足），23÷7余2（满足）；③ 因此，这个数最小是23。（此类问题为“韩信点兵”问题的简单形式，复杂情况可通过中国剩余定理求解）

GMAT 阅读理解题本质上是时间管理的考验。如果给你 30 分钟去完成一篇阅读外加四道题目，这项任务十分轻松。GMAT 的大多数题目都会设置陷阱、套路或措辞上的细微差异，很容易让你误入歧途，选出错误答案。而阅读理解题虽然偶尔也有难点，但通常是整场考试中最直截了当的题型。

那么，为什么不是所有人都能在这类题目上拿满分呢？往往只是因为时间不够用。读完一篇 300 词以上的文章，再回答一道相关问题可能需要好几分钟，尤其当英语不是母语，或者平时没有阅读习惯时。再加上可能有两到三个选项看起来都有道理，你就会频繁地在文章中反复重读同一个段落，白白浪费时间。

幸运的是，阅读理解中有一种题型几乎不需要你返回原文去查找特定句子。主旨题考查的是对整篇文章的理解，而非具体的行为、段落或人物。这类题目关注的是文章的核心主题，而非某个单一细节。因此，只要你在第一遍阅读时读懂了文章内容，回答这类问题就会很轻松。

我们结合一篇阅读文章来深入分析

Nearly all the workers of the Lowell textile mills of Massachusetts were unmarried daughters from farm families. Some of the workers were as young as 10. Since many people in the 1820s were disturbed by the idea of working females, the company provided well-kept dormitories and boardinghouses. The meals were decent and church attendance was mandatory. Compared to other factories of the time, the Lowell mills were clean and safe, and there was even a journal, The Lowell Offering, which contained poems and other material written by the workers, and which became known beyond New England. Ironically, it was at the Lowell mills that dissatisfaction with working conditions brought about the first organization of working women.

The mills were highly mechanized, and were in fact considered a model of efficiency by others in the textile industry. The work was difficult, however, and the high level of standardization made it tedious. When wages were cut, the workers organized the Factory Girls Association. 15,000 women decided to “turn out,” or walk off the job. The Offering, meant as a pleasant creative outlet, gave the women a voice that could be heard by sympathetic people elsewhere in the country, and even in Europe. However, the ability of the women to demand changes was severely circumscribed by an inability to go for long without wages with which to support themselves and help support their families. This same limitation hampered the effectiveness of the Lowell Female Labor Reform Association (LFLRA), organized in 1844.

No specific reform can be directly attributed to the Lowell workers, but their legacy is unquestionable. The LFLRA’s founder, Sarah Bagley, became a national figure, testifying before the Massachusetts House of Representatives. When the New England Labor Reform League was formed, three of the eight board members were women. Other mill workers took note of the Lowell strikes, and were successful in getting better pay, shorter hours, and safer working conditions. Even some existing child labor laws can be traced back to efforts first set in motion by the Lowell mills women.

The primary purpose of the passage is to do which of the following?

A. Describe the labor reforms that can be attributed to the workers at the Lowell mills

B. Criticize the proprietors of the Lowell mills for their labor practices

C. Suggest that the Lowell mills played a large role in the labor reform movement

D. Describe the conditions under which the Lowell mills employees worked

E. Analyze the business practices of early American factories

遇到的主旨题最常见的问法就是 “what is the primary purpose of this passage”。本质上，这类题要求你把 300 多词的文章浓缩成一句话。如果你读完文章后什么都没记住，这道题就会很难作答。理想情况下，你在第一遍阅读时就已经记住了文章的核心内容。如果有必要，你可以重读文章，用大约五个词概括每段的主旨。各段的主旨大意，尤其是最后一段，能帮你准确把握整篇文章的写作目的。

这篇文章的每一段都围绕 19 世纪 20 年代马萨诸塞州洛厄尔纺织厂的劳工纠纷展开。第一段描述了工厂的环境，为全文铺垫背景；第二段讲述了工人罢工事件及其后续结果；第三段则探讨了这些工人带来的历史影响。文章的核心主题必须涵盖全文的主旨，而这一点往往在最后一段有所总结（通常也是作者的结论所在）。要判断作者的写作意图以及想让读者从中获得什么信息，需要重点关注最后一段。

我们逐一分析选项：

选项 A “阐述可归功于洛厄尔纺织厂工人的劳工改革措施” 是一个高频干扰项。这篇文章确实旨在介绍这段历史事件，因此 “阐述相关劳工改革措施” 看似是合理的结论，但第三段第一句明确指出：“没有任何具体的改革措施可以直接归功于洛厄尔纺织厂的工人们”。这意味着选项 A 虽然具有迷惑性，但与文章的实际结论相悖 —— 我们无法去阐述根本不存在的东西，因此 A 错误。

选项 B “批评洛厄尔纺织厂经营者的用工做法”，看起来可能符合读者的主观感受，但完全超出了文章的讨论范围。文章并没有对工厂的用工制度进行审视，反而强调了相关人物为劳工权益做出的努力。甚至可以说，文中暗示这家工厂的工作条件优于当时的大多数工厂（即便放到现在，在某些国家也依然算得上好）。选项 B 的观点看似站得住脚，但在这篇文章中并不成立。

选项 C “说明洛厄尔纺织厂在美国劳工改革运动中发挥了重要作用”，这一说法能在文章最后一段找到依据。最后一段重点讨论了洛厄尔纺织厂的历史遗产，正是因为其他工厂的工人受到了洛厄尔罢工事件的启发，才足以证明洛厄尔纺织厂在更大规模的劳工改革运动中扮演了重要角色。尽管这个选项的依据主要集中在第三段，但别忘了，在大多数文章中，最后一段都有着决定性的作用，就像一部电影的结尾部分通常是最关键的桥段（用专业术语来说，就是 “结局”）。因此选项 C 是正确答案，因为这篇文章的核心正是探讨这些历史事件的深远影响。

为了让分析更完整，我们继续看剩下的选项。选项 D “描述洛厄尔纺织厂工人的工作环境”，只聚焦于第一段的一小部分内容，而且文中对工作环境的描述并不详尽。若声称这是整篇文章的核心主旨，未免过于牵强，因此可以快速排除。

选项 E “分析美国早期工厂的经营模式”，这个选项看似为文章增添了更宏大的背景，但实际上比选项 B 偏离主题更远，因为它的涵盖范围过于宽泛。文章只聚焦于一家纺织厂，且工厂的经营模式并非本文的讨论重点，因此将范围扩大到所有美国早期工厂的经营模式，显然是错误的。选项 E 同样可以排除，最终只剩下选项 C 为正确答案。

一般来说，解答主旨题无需重读文章，因为这类题考查的是对文章整体框架的把握。如果你在第一遍阅读后没能抓住文章的核心要点，很可能意味着你根本没有读懂这篇文章。反之，如果你在第一遍阅读时就能理清文章的主要脉络，概括出每段的核心目的，那么无论遇到任何主旨题，你都能游刃有余。

这道题两位同学给出了完全不同但逻辑都自洽的解法，特别有意思。先看题：

The ratio of boys to girls in a class is 2 to 3. If 6 boys and 6 girls join the class, what is the new ratio of boys to girls?

这其实是道陷阱题。在揭秘原因前，先看看两位同学的思路：

学生 1 的解法：直接加和

“初始比例是 2:3，加入 6 名男生和 6 名女生后，男生数变成 2+6=8，女生数变成 3+6=9，所以新比例是 8:9。”

学生 2 的解法：比例关系不变

“比例是两个数量的关系，既然男女生增加的人数相同，关系应该不变，所以新比例还是 2:3。”

这两种思路听起来都合理，但8:9 和 2:3 都不是正确答案—— 因为这道题根本没有唯一解。问题出在比例的核心特性上：

比例本身不提供具体数量信息。题目说男女生比例是 2:3，实际人数可能是 2 男 3 女、20 男 30 女，甚至 200 男 300 女 —— 只要满足 “每 2 名男生对应 3 名女生”，人数可以是任意值。

而 GRE 中计算新比例必须知道具体数量，新比例的结果完全取决于初始人数：

若初始是 2 男 3 女，加入后是 8 男 9 女，比例 8:9；

若初始是 20 男 30 女，加入后是 26 男 36 女，化简为 13:18；

若初始是 200 男 300 女，加入后是 206 男 306 女，化简为 103:153。

这三个结果都不同，但全是 “正确” 的 —— 因为题目没给初始具体人数，所以根本算不出唯一答案。

两位同学的误区在哪？

学生 1 错把 “比例” 当成 “具体人数”：比例只是数量关系，不能直接用来加和计算。

学生 2 混淆了 “乘除” 和 “加减” 对比例的影响：比例和分数类似，同乘 / 同除同一个数，比例不变（比如 2:3=4:6=20:30）；但同加 / 同减同一个数，比例会改变（比如 2:3≠8:9）。

总结：解 GRE 比例题的关键

遇到比例题时，一定要警惕：比例≠具体人数，没有明确数量时，不要假设初始值；

比例的运算规则和分数一致：能对分数做的操作（同乘除），才能对比例做；不能对分数做的操作（同加减），也不能对比例做。

下次碰到比例题，先确认有没有具体数量 —— 没有的话，很可能是道 “陷阱题” 哦。