今天，我们要讨论的是一类需要避开数值代入法的题目（但不知为什么，只要看到题目里的变量，很多考生还是执意要用这个方法）。

并非所有含变量的题目都适合数值代入法。如果变量太多，代入数值不仅容易混乱，还很容易出错。除此之外，还有一些其他情形也不适合用这种方法。今天我们就结合一道题来分析，这道题恰好同时存在两个不适合数值代入的问题。


题目： If m, p , s and v are positive, and m/p < s/v, which of the following must be between m/p and s/v?


I. (m+s)/(p+v)


II. ms/pv


III. s/v – m/p


(A) None


(B) I only


(C) II only


(D) III only


(E) I and II both


很多考生一看到m、p、s、v这四个变量，就会立刻代入具体数值，比如令m=1、p=2之类的。

但以下两点应该会让你放弃数值代入法：

变量数量过多，四个变量的组合太多，代入计算时很难全面覆盖，也容易出错。

题目类型为“must be true”，数值代入法并非解答这类题目的最佳策略。比如，你代入某一组数值（如1、2、3、4）后，发现结论I成立，但这只能证明结论I在这一组数值下成立，如何能确定它对所有符合条件的数值组合都成立呢？变量的取值有无穷多种可能，你不可能逐一验证。反之，如果你能找到某一组数值，使得结论I不成立，就能直接判定它“不一定成立”，从这个角度来说，数值代入法有一定作用，但往往需要尝试很多次才能找到反例。因此，解答这类题目，运用概念推理的方法要高效得多。


我们可以借助数轴和平均数的相关概念来解这道题。

已知条件为m/p < s/v，反映在数轴上，二者的位置关系如下：


…………. 0 ……………….. m/p …………………… s/v ……………..


（因为m、p、s、v均为正数，所以m/p和s/v都在0的右侧）

我们先分析结论II和III，因为这两个结论相对容易判断。

结论II：ms/pv

假设m/p和s/v均小于1，那么二者相乘的结果会更小。比如0.2*0.3=0.06，此时乘积ms/pv就不在m/p和s/v之间。

解题技巧：分析数字性质时，可以把数轴划分为四个区间来思考：

小于-1

介于-1和0之间

介于0和1之间

大于1

不同区间内的数字，运算后的变化规律不同。考生需要熟练掌握这些数字的运算特性。


结论III：s/v – m/p

我们来看这样一种情况：

…………. 0 ………………………… m/p … s/v ……….


此时s/v – m/p的结果会远小于m/p和s/v，它在数轴上的位置大概在这里：


………….0………此处…………………m/p … s/v ……….


由此可见，两个分数的差值不一定介于这两个分数之间。

因此，s/v – m/p不一定在m/p和s/v之间。


结论I：(m+s)/(p+v)

这个结论的推导稍显复杂。为了方便理解，我们把四个数字记作N_1=m、N_2=s、D_1=p、D_2=v，对应的两个分数就是N1/D1和 N2/D2。

那(m+s)/(p+v)就可以改写为：(m+s)/(p+v)= [(m+s)/2]/[(p+v)/2]=分子的平均值/分母的平均值


分子的平均值一定介于N_1和N_2之间，分母的平均值一定介于D_1和D_2之间。因此，分子的平均值/分母的平均值的结果就会介于N1/D1和N2/D2之间。我们可以通过具体例子验证这个结论。

要判断一个分数是否小于另一个分数，我们可以分五种情况讨论N1/D1 < N2/D2的条件，并分别验证：


N1<N2且D1=D2

例：2/9和4/9

分子平均值/分母平均值=3/9，介于两个分数之间。


N1<N2且D1>D2

例：2/11和4/9

分子平均值/分母平均值=3/10，介于两个分数之间。


N1远小于N2且D1<D2

例：2/9和20/19（N1与N2的差距远大于D1与D2的差距）

分子平均值/分母平均值=11/14，介于两个分数之间。


N1=N2且D1>D2

例：2/9和2/7

分子平均值/分母平均值=2/8，介于两个分数之间。


N1>N2且D1远大于D2

例：4/9和\2/1

分子平均值/分母平均值=3/5，介于两个分数之间。


在上述所有情况下，分子平均值/分母平均值的结果都大于N1/D1且小于N2/D2。你可以多代入几组数值，加深对这个规律的理解。需要注意的是，考场上不需要像这样逐一推导，这道题的核心结论需要牢记：

核心结论：当N1、N2、D1、D2均为正数时，分子平均值/分母平均值的值一定介于N1/D1和N2/D2之间。


因此，m+s/p+v一定介于m/p和s/v之间。


答案：(B)