统计学中的三个核心概念：


算术平均数：可以代表或替代一组数据中所有数值的数，它介于这组数据的最小值与最大值之间。


中位数：若数据个数为奇数，中位数是位于中间位置的数值；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数值的算术平均数。


标准差：衡量数据集中各数值围绕平均数离散程度的指标。


一个具有思辨性的问题是：当数据集中的所有数值都以相同方式变化时，这三个统计量会发生怎样的改变？


例如，若将一组数据中的每个数都增加 10，其平均数会如何变化？中位数呢？标准差又会怎样？如果将数据集中的每个元素都乘以同一个数，结果又会如何？


接下来我们将详细分析这些情况。需要提前说明的是，本次分析将以概念理解为主，不会涉及复杂公式的推导，不过你也可以通过推导相关公式来验证这些结论。


当我们讨论一组数据的平均数、中位数或标准差时，可以把这些数值想象成分布在数轴上的点，它们会以特定的方式排布。


例如：——0—a———b—c———————d———e————————f—g———————


情况一：给每个数据元素加上同一个正数


假设给数据集中的每个数都加上同一个正数 x，那么这组数据在数轴上的整体位置会同步向右平移。平移后的新数据 a'、b'、c'、d'、e'、f'、g' 在数轴上的位置如下：


——0——————a’———b’—c’———————d’———e’————————f’—g’——————


可以发现，数据之间的相对位置并未改变，彼此之间的距离也保持不变。（注：图中数据整体向右远离 0 点，以此表示它们在数轴上的平移。）


平均数是位于数据分布中间区域的数值，因此会随着整体数据的平移而增加 x。例如，若原平均数为 d，那么新平均数就是 d'=d+x。


由此可得结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，新平均数 = 原平均数 + 所加的数


同理，中位数作为原数据集中的中间值（如例子中的 d），也会同步增加 x，新中位数为 d'=d+x。


对应结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，新中位数 = 原中位数 + 所加的数


标准差衡量的是数据围绕平均数的离散程度。当整组数据同步平移时，数据与平均数之间的相对距离并未改变，因此离散程度保持不变。标准差与数据在数轴上的绝对位置无关，只与数据和平均数的相对距离有关。例如，数据集 {3, 5, 7, 9} 与数据集 {13, 15, 17, 19} 的标准差是相等的，因为两组数据的相对分布完全一致。


对应结论：若给一组数据中的每个元素都加上同一个数，标准差保持不变


情况二：将每个数据元素乘以同一个正数


现在我们来分析另一种情况：将数据集中的每个元素都乘以同一个正数。


原数据在数轴上的分布如下：


——0—a———b—c———————d———e————————f—g———————


乘以同一个正数后，新数据在数轴上的分布会呈现扩散状态，如下所示：


——0———a’——————b’———c’————————————d’—————————e—- etc


我们可以通过一个例子理解这一变化：假设初始数据集为 {10, 20, 30}，若将每个数都乘以 2，新数据集就变成了 {20, 40, 60}。数据之间的差值从原本的 10 扩大到了 20。


当每个数据元素都乘以正数 x 时，平均数也会相应地扩大为原来的 x 倍。例如，若原平均数为 d，新平均数 d'=x *d。


由此可得结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新平均数 = 原平均数 × 所乘的数


同理，中位数也会扩大为原来的 x 倍。


对应结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新中位数 = 原中位数 × 所乘的数


这种情况下，标准差会发生怎样的变化呢？答案是会改变！因为数据与平均数之间的距离变大了，离散程度随之增加，标准差也会相应扩大。新标准差是原标准差的 x 倍，这一结论也可以通过标准差公式推导验证。


对应结论：若将一组数据中的每个元素都乘以同一个正数，新标准差 = 原标准差 × 所乘的数


上述规律同样适用于每个数据元素增加相同百分比的情况，这本质上等同于将每个元素乘以同一个数。例如，若将每个数据元素增加 20%，就相当于把每个元素都乘以 1.2，此时可直接套用情况二的结论。


现在不妨思考一下：如果给一组数据中的每个元素都减去同一个数，或者除以同一个正数，平均数、中位数和标准差又会发生怎样的变化呢？