在生活中，我们经常会看到某些规律周而复始地出现。有些规律并不精确，或者会受外部因素影响而发生巨大变化。有一些规律相对固定，但仍会出现些许波动。还有一些永恒不变的规律。


在GMAT考试中，这种基于固定规律的预判思维，会被用来解决那些原本需要计算器才能完成的数学题。一个常见的例子就是求一个大数的个位数字。例如计算15^16的值，这个数字太大，在考场上我们根本无法快速算出完整结果，但借助个位数字的规律，就能轻松得出答案。任意一个以5结尾的数字，当它与另一个以5结尾的数字相乘时，乘积的个位数字永远都是5。这个规律亘古不变，无论你重复计算多少次，结果都不会改变。类似的规律也适用于所有以0、1、5、6结尾的数字，这些数字无论进行多少次乘方运算，个位数字都始终保持不变。


对于其余6个数字（2、3、4、7、8、9）而言，它们的个位数字在乘方运算中会按照预先确定的周期规律循环变化，这种规律很容易被观察到。以数字2为例：


2^2=4，2^3=8


2^4=16，2^5=32


到这一步，我们会发现计算结果的个位数字回到了初始值2。再乘以2，乘积的个位数字又会变成4（比如2^6=64）；继续乘以2，个位数字则变为8（比如2^7=128）。由此可见，数字2的乘方结果，其个位数字会按照2、4、8、6的顺序循环往复。因此，即便要计算一个极大的2的乘方数（比如2^150），我们也能借助这个规律轻松求出它的个位数字。


下面我们来看一道能够充分体现规律识别技巧的题目：


What is the units digit of (13)^4 * (17)^2 * (29)^3?

(A) 9

(B) 7

(C) 4

(D) 3

(E) 1


看到这道题，很多人可能会希望自己能有计算器可用。但恰恰是因为考场上不允许使用计算器，GMAT才会设置这类题目。如果用计算器解题，根本不需要任何逻辑推理和解题技巧，机械地照搬计算器显示的结果即可。但如果被迫手动解题，你就需要主动去挖掘个位数字的规律，并利用数字的基本性质来为自己解题助力。


首先，我们可以发现题目是三个奇数相乘，而奇数相乘的结果一定还是奇数。据此，我们可以直接排除选项C，因为它是一个偶数。仅仅通过这一步定性分析，我们就无需任何计算就排除了一个错误选项，但要排除剩下的三个错误选项，还需要进一步分析。


首先要明确的是，一个数的个位数字有一个关键特性：它与该数其他数位上的数字毫无关联。这意味着，求(3^4) * (7^2) * (9^3)的个位数字，等价于求(3^4)*(7^2)*(9^3)的个位数字。虽然我们理论上可以算出这几个乘方数的完整值，但实际上我们只需要关注它们的个位数字即可，这能帮我们省去大量繁琐计算，快速锁定正确答案。


我们来逐一拆解计算每个乘方数的个位数字：


3^4=3*3*3*3=9*9=81，个位数字是1


7^2=49，个位数字是9


9^3=9*9*9=81*9=729，个位数字是9


忽略原数除个位外的其他数位，对最终结果没有任何影响，反而能让计算过程变得更快捷。进一步看，我们在计算最终乘积的个位数字时，同样可以忽略各数的十位、百位等数位，直接简化计算：将81*49*729简化为1*9*9


计算结果为81，其个位数字是1，因此这道题的正确答案是选项E。如果不进行计算，我们很难直接看出答案，但实际解题所需的计算量，远比你第一眼看到题目时预想的要少得多。如果是没有备考准备的考生，可能会选择手动计算13^4的完整值，最终算出13^4=28561，这个过程会浪费大量时间（况且，谁会背下来13^4等于多少呢？）。尤其是这道题只关心结果的个位数字，这种全盘计算的方法显然既枯燥又多余。


个位数字问题是GMAT考试的热门题型，因为它能很好地检验考生的逻辑推理能力和解题技巧。我们应当注意到：趋势会不断重现，并形成规律。有时，这些规律的稳定性足以让我们对其进行无限期的推演。