今天，我们来系统梳理表达式与方程的概念，以及二者的核心区别。这两个概念看似相近，但理清它们的差异十分必要。


表达式：由数字、变量和运算符号构成。


例如：


x+4


2x-4x^2


5x^2+4x-18


诸如此类……


这些都属于表达式。注意：默认情况下，我们不能将表达式直接等同于0，也无法据此求解变量x的具体值。表达式的取值会随变量x的变化而变化。


举例来说，对于表达式x+4：


若x=1，表达式的值为5；


若x=2，表达式的值为6；


若已知表达式的值为10，则可计算出x=6。


我们不能直接说“求解x+4”，这个表述本身是不成立的。


当我们为一个代数表达式添加等号，使其与某个量相等时，就得到了方程。


以下是将上述表达式转化为方程的几种方式：


x+4=-3


2x-4x^2=0


5x^2+4x-18=3x


此时方程就可以求解了。需要注意的是，方程的右边不一定必须是0。如果等式右边是其他数值，你可以将右边的项移到左边，使等式右边化为0；或者在条件允许的情况下，直接对变量进行分离求解。


求解过程如下：

  • x+4=-3

x+7=0

x=-7


  • 2x-4x^2=0

2x(1-2x)=0

x=0或x=1/2


  • 5x^2+4x-18-3x=0

5x^2+x-18=0

5x^2+10x-9x-18=0

5x(x+2)-9(x+2)=0

(x+2)(5x-9)=0

x=-2或x=9/5


在上述每个方程的求解中，我们都只得到了变量x的有限个取值，这正是方程的特性。


接下来，我们思考“解方程”的本质含义。以二次方程为例具体说明：


二次方程的常见表达形式为：


f(x)=ax^2+bx+c 或 y=ax^2+bx+c


其函数图像是一条抛物线：


当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。


求解方程ax^2+bx+c=0，本质是求当y=0时，变量x的取值，也就是抛物线与x轴的交点坐标。


求解方程ax^2+bx+c=d，本质是求当y=d时，变量x的取值。最终是否能解出x的取值，取决于a、b、c、d的具体数值。


我们来看一个具体例子：


方程x^2-2x-3=0


因式分解可得(x+1)(x-3)=0


解得x=-1或x=3


这个方程的几何意义是：当函数y=x^2-2x-3的函数值为0时，对应的x取值为-1和3，对应抛物线与x轴的两个交点。


那么，当我们求解方程x^2-2x-3=-3时，解法是完全相同的：


x^2-2x-3+3=0


x(x-2)=0


解得x=0或x=2


也就是说，当函数值y=-3时，对应的x取值为0和2，这一点从函数图像上也能直观地看出来。


同理，当求解y=5时，我们也能算出对应的两个x值。


但如果令y=-5，此时我们无法求出对应的x实数解。因此方程x^2-2x-3=-5无实数解（这也是我们在GMAT考试范围内需要掌握的结论）。