我们都知道，组合和概率是 GMAT 考试中颇具难度的题型。这类题目很容易因理解偏差得出错误答案，而遗憾的是，错误答案往往会出现在选项中，让你产生 “做对了” 的错觉。


在很多题目中，我们需要逐一分析不同情况，但 GMAT 考试时间有限，这类繁琐的题目其实并不多见。同时，我们必须反复强调：GMAT 题目更侧重考查推理能力，而非计算量。通常来说，每一道 GMAT 题都有其 “巧解思路”，能帮你在几秒内得出答案。


此前我们探讨过对称性在组合学中的应用，其实这种思路能解决很多题型，只是大多数人并未意识到。为了帮助大家掌握这类高效解法，本文将对比 “常规解法” 和 “巧解思路”，让你跻身顶尖考生行列。


题目：Let S be the set of permutations of the sequence 2, 3, 4, 5, 6 for which the first term is not 2. A permutation is chosen randomly from S. The probability that the second term is 5 is given by a/b (in lowest terms). What is a+b?

设集合 S 为数列 2, 3, 4, 5, 6 的所有首项不为 2 的排列，从 S 中随机选取一个排列，求该排列第二项为 5 的概率（结果化为最简分数 a/b），并计算 a+b 的值。

(A) 5

(B) 6

(C) 11

(D) 16

(E) 19



常规解法

集合 S 中的排列，是对数列 2, 3, 4, 5, 6 的不同排序方式，例如 3, 2, 4, 5, 6、4, 2, 3, 6, 5、6, 3, 4, 5, 2 等。

  1. 计算集合 S 的总排列数首项不能为 2，因此首项有 4 种选择（3、4、5、6）；首项确定后，第二项可从剩余 4 个数字（含 2）中选择，共 4 种；第三项从剩余 3 个数字中选择，共 3 种；第四项从剩余 2 个数字中选择，共 2 种；最后一项仅 1 种选择。总排列数 = 4×4×3×2×1 = 96
  2. 计算 “第二项为 5” 的有利排列数第二项固定为 5，首项不能为 2 和 5，因此首项有 3 种选择（3、4、6）；第二项为 5，仅 1 种选择；第三项从剩余 3 个数字（排除首项和 5）中选择，共 3 种；第四项从剩余 2 个数字中选择，共 2 种；最后一项仅 1 种选择。有利排列数 = 3×1×3×2×1 = 18
  3. 计算概率所求概率 = 有利排列数 / 总排列数 = 18/96 = 3/16，即 a=3，b=16，因此 a+b=3+16=19。


巧解思路（对称性推理）

无需复杂计算，仅通过对称性逻辑即可快速解题：

  1. 集合 S 中的排列，首项为 3、4、5、6 的概率是均等的，各占 1/4；
  2. 我们需要排除首项为 5 的情况（因为首项为 5 时，第二项不可能为 5），因此有效排列占比为 3/4；
  3. 在这 3/4 的排列（首项为 3、4、6）中，数字 5 可出现在第二项、第三项、第四项、第五项这 4 个位置，且每个位置的概率均等，各占 1/4；
  4. 因此，“第二项为 5” 的概率 = (3/4)×(1/4)=3/16，即 a=3，b=16，a+b=19。

答案：(E)