GMAT 是一门考查思维能力的考试。该考试旨在测评你的推理能力，并预判你在商学院的成功潜力。这意味着，考试并非单纯考察你已掌握的知识量。这一点类似那句格言：“授人以鱼，三餐之需；授人以渔，终生之用”。如果你恰好知道 144 是 12 的平方，那么任何涉及这个具体数字的题目都会变得简单很多。但如果考试转而考察 13² 或 14²，而你只记得 12²，那你就必须想办法将已有的知识迁移到全新且无固定套路的题目中。


GMAT 与高中考试的核心区别在于，其题目具有不可预测性。高中阶段，我们被要求记忆特定知识点，然后在期末考试中照搬复述。一旦考题和我们死记硬背的题目哪怕只有细微差别，我们往往就会陷入慌乱、盲目猜测，且通常无法发现所学知识和待解问题之间的关联。举个例子，如果你知道 12² 的值，那你其实已经掌握了求解 13² 所需知识的 85.2%（大概的比例）。从一个完全平方数推导到下一个完全平方数，其实有一套相当简单的方法，不过在讨论通用解法之前，我们先从最基础的内容说起。


这个规律在 0² 时同样成立，但为了简便，我们从 1² 开始分析。1² 展开为 1×1，计算结果是 1。再看下一个完全平方数 2²，2×2=4，相较于前一个完全平方数增加了 3。第三个完全平方数是 3²，3×3=9，较前一个数增加了 5。我们再算一个来巩固规律：4²=16，和上一个完全平方数相比，数值增加了 7。接下来的完全平方数依次是 25、36、49，对应的增量分别为 9、11、13。显然，相邻两个完全平方数的差值是连续的正奇数。事实上，这个规律适用于所有完全平方数，能帮我们快速算出任意完全平方数的数值。下面我们来探究该规律的原理。


从 1² 推导至 2²，我们可以分两步来看。先由 1×1 变为 1×2，再进一步变为 2×2。每一步的变化是什么？第一步，我们多乘了一个初始数字 1，结果增加了 1；第二步，我们多乘了一个新数字（n+1，此处即 2），结果又增加了 2。这一差值使得 2² 相较于 1² 的增量为 1+2=3。同理，从 2² 推导到 3²，可先过渡到 2×3，再到 3×3，第一步增量为 2，第二步增量为 3，总增量就是 5。推广到通用情况，我们能发现，若想由 n² 得到 (n+1)²，只需在 n² 的基础上先加 n，再加 (n+1) 即可。


虽然 GMAT 不要求掌握这种数学推导，但它确实能大幅加快某些计算的速度。回到我们最开始的例子 12²，大部分非 GMAT 备考爱好者不会随口报出 13² 的值，但由于小学阶段我们都被要求熟记 12 以内的乘法表，所以多数人都能轻松想起 12²=144。利用上述技巧，我们能算出 13²=144+12+13=169，这就是正确答案。同理，14²=169+13+14=196，以此类推。


我绝不认为这种策略是所谓的 “投机取巧”，它其实是深度理解数学性质后的成果。GMAT 恰恰会奖励这类能力，比如让你在两分钟内解出如下题目：


225, or 15², is the first perfect square that begins with two 2s. What is the sum of the digits of the next perfect square to begin with two 2s.

225（即 15²）是首个以两个 2 开头的完全平方数，那么下一个以两个 2 开头的完全平方数，其各位数字之和为多少？

(A) 7

(B) 9

(C) 13

(D) 16

(E) 21


这类题目在 GMAT 考试中很容易花费 5 分钟时间。我们掌握的信息极少，只知道目标数字是一个以两个 2 开头的完全平方数，且不是 225（很多人都知道这个数，尤其是在有 15% 消费税的国家）。即便有计算器，这道题也不算简单，因此我们不能盲目去平方数字、碰运气，而要先制定一套解题策略。


首先可以确定，下一个符合条件的完全平方数绝不可能是 22x 这种三位数。15² 之后的下一个完全平方数是 16²=256（你可以用任何方法算出这个结果），这意味着目标数必然是 22xx 这样的四位数。这就给了我们一个大致的数值范围。在还没明确具体要验证哪些数字之前，我们可以先计算一些整数的平方，来锁定更精确的范围：


  • 20²=400
  • 30²=900
  • 40²=1600
  • 50²=2500


显然，目标数字对应的底数在 40 到 50 之间。进一步分析，22xx 更接近 2500，远大于 1600，因此有经验的考生可能会先尝试计算 47² 或 48²，看看结果是否接近目标。不过与其盲目猜测，不如用我们的完全平方数计算技巧，快速定位正确答案。


已知 50²=2500，那么计算 49² 时，只需用 2500 减去 50，再减去 49，这其实是从 49² 推导 50² 的逆向运算，也可以直接看作 2500-99=2401。我们可以通过个位数字验证：9×9 的个位是 1，说明计算方向正确。同理，从 49² 算 48²，需用 2401 减去 49，再减去 48，即 2401-97=2304。这个结果已经很接近 22xx 了，我们再算一步：47²=2304-47-48=2304-95=2209。


2209 就是我们要找的、以两个 2 开头的完全平方数，接下来将其各位数字相加：2+2+0+9=13，对应选项 C。


虽然这类题目没有固定解法，但切记不要盲目猜测，这种做法不仅耗时，也无法帮你应对同类题目。代入法在此类问题中同样无效，因此我们的解题选择其实有限。计算 30²、40² 这类 “标志性完全平方数” 是很实用的策略，能大大降低这类题目的难度。既然 GMAT 考察的是思维能力，那就别忘了：任何一个完全平方数，和它相邻的下一个完全平方数之间，都只差了简单的两步加法。