今天，我们就通过一道题目，把这个受欢迎的 “偷懒型” 思维找回来。试着用 “偷懒” 的方式解题，也就是尽量减少纸面运算。这意味着，列方程求解是绝对要避免的，大量计算也属于累赘操作。

题目

A tank has two water pumps Alpha and Beta and one drain Gamma. Pump Alpha alone can fill the whole tank in x hours, and pump Beta alone can fill the whole tank in y hours. The drain can empty the whole tank in z hours such that z>x. When the tank was empty, pumps Alpha and Beta started pumping water in the tank and the drain Gamma simultaneously was draining water from the tank. When finally the tank is full, which of the following represents the amount of water in terms of the fraction of the tank which pump Alpha pumped into the tank?

某水箱配有两台注水泵阿尔法（Alpha）和贝塔（Beta），以及一根排水管伽马（Gamma）。单独开阿尔法泵，x 小时可将水箱注满；单独开贝塔泵，y 小时可将水箱注满；单独开伽马排水管，z 小时可将满水箱排空，且满足 z＞x。若水箱初始为空，同时启动阿尔法泵、贝塔泵和伽马排水管，当水箱最终注满时，下列哪一项能表示阿尔法泵注入的水量占水箱总容量的比例？

(A) yz/(x+y+z)

(B) yz/(yz + xz – xy)

(C) yz/(yz + xz + xy)

(D) xyz/(yz + xz – xy)

(E) (yz + xz – xy)/yz


注意，题目和选项中都含有未知数。既然我们要找 “偷懒” 的解法，那么用未知数列方程的方式肯定不可取。那要不要代入具体数值呢？但这里有三个未知数，代入数值可能也会产生大量计算。那还有什么别的办法吗？

下面是这道题的 “最小运算量” 解法，你也可以试着自己想一种偷懒思路，别忘了和我们分享！

给未知数代入数值确实可能比较麻烦，但你可以给未知数赋一些极其便捷的数值，让注水泵和排水管的作用正好相互抵消。

题目中对 x、y、z 的取值唯一限制是 z＞x（即伽马排水管的排空速度慢于阿尔法泵的注水速度）。

我们不妨假设：x=2 小时，y=4 小时，z=4 小时。

我们为什么要这么赋值？因为这样能让贝塔泵的注水速率和伽马排水管的排空速率相同，均为每小时注满 / 排空水箱的 1/4。这就意味着，当贝塔泵和伽马排水管同时工作时，伽马排水管刚好能抵消贝塔泵的注水效果 —— 贝塔泵每小时注入 1/4 水箱的水，伽马排水管就会同时排空 1/4 水箱的水。如此一来，整个水箱就只能靠阿尔法泵单独注满。因此，当 y=z 时，阿尔法泵会注满整个水箱，也就是说它注入的水量占水箱总容量的比例为 1。

接下来，我们在各个选项中代入 y=z，看看哪个选项的结果等于 1。注意，你不必真的代入 2、4、4 这些具体数值，我们给出这些数值只是为了方便理解。

当 y=z 时，xy=xz。

  • 对于选项 (B)，分母中的 xz 和 xy 会相互抵消，式子简化为 yz/yz=1；
  • 对于选项 (E)，分子中的 xz 和 xy 会相互抵消，式子简化为 yz/yz=1。

其他选项即便代入 y=z，结果也无法简化为 1—— 毕竟当 y=z 时，无论 x、y、z 具体取值如何，答案都应该是 1，而其他选项的结果会受 x 和 / 或 y 的取值影响。因此，仅剩选项 (B) 和 (E) 有可能是正确答案，我们还需要进一步筛选。

再假设一组数值：x=4 小时，y=2 小时，z=4.00001 小时（z 必须大于 x，我们可近似将其看作 4 小时）。

此时，伽马排水管的排水速率（每小时排空 1/4 水箱）是贝塔泵注水速率（每小时注满 1/2 水箱）的一半，且和阿尔法泵的注水速率相同。贝塔泵注入的水，有一半会被伽马排水管排空，剩下的一半则需要由阿尔法泵来补足。也就是说，阿尔法泵注入的水量占水箱总容量的比例为 1/2。

接下来，我们在选项 (B) 和 (E) 中代入 x=z，能算出结果为 1/2 的就是正确答案。同样，你不必全程代入具体数值计算。

当 x=z 时，yx=yz。

  • 选项 (B)：yz/(yz + xz – xy)，分母中的 yz 和 xy 抵消，式子简化为 yz/xz=y/x=2/4=1/2；
  • 选项 (E)：(yz + xz – xy)/yz，分子中的 yz 和 xy 抵消，式子简化为 xz/yz=x/y=4/2=2。

只有选项 (B) 的结果为 1/2，因此答案为 (B)。

即便你觉得这种方法有些复杂，也请努力理解它。一旦掌握，你也能成为一名 “偷懒型学霸”！