定义若x和y是正整数，则存在唯一的整数q（商）和r（余数），使得y = xq + r，且0 ≤ r < x

例如，15 除以 6 时，商是 2，余数是 3，因为15 = 6*2 + 3。注意，0 ≤ r < x意味着余数是一个非负整数，且始终小于除数。该公式也可写成: y/x  =  q + (r/x)

性质:

  • 若y是x的倍数，那么y除以x的余数为 0。例如，12 除以 3 的余数为 0，因为 12 是 3 的倍数，且12 = 3*4 + 0。
  • 较小的整数除以较大的整数时，商为 0，余数是较小的那个整数。例如，7 除以 11 的商为 0，余数为 7，因为7 = 11*0 + 7。
  • 正整数y除以正整数x时，可能的余数范围是 0 到x-1。例如，正整数y除以 5 时，可能的余数范围是 0（当y是 5 的倍数时）到 4（当y比 5 的倍数小 1 时）。
  • 一个数除以 10，余数是其最后一位数字；除以 100，余数是最后两位数字，以此类推。例如，123 除以 10 的余数是 3，123 除以 100 的余数是 23。


例题 1（简单）

If the remainder is 7 when positive integer n is divided by 18, what is the remainder when n is divided by 6?

若正整数n除以 18 的余数是 7，那么n除以 6 的余数是多少？选项：A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

解：正整数n除以 18 余数为 7，即n = 18q + 7。由于第一项18q能被 6 整除，余数仅由第二项 7 决定。7 除以 6 的余数是 1。答案：B。


例题 2（简单）

If n is a prime number greater than 3, what is the remainder when n^2 is divided by 12 ?

若n是大于 3 的质数，那么n^2除以 12 的余数是多少？选项：A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5

解：有几种代数方法可解此题，最简单的是选一个大于 3 的质数，平方后除以 12 看余数。若n = 5，则n^2 = 25。25 除以 12 的余数是 1。答案：B。


例题 3（简单）

What is the tens digit of positive integer x ?

(1) x divided by 100 has a remainder of 30.

(2) x divided by 110 has a remainder of 30.

正整数x的十位数字是多少？（1）x除以 100 的余数是 30。（2）x除以 110 的余数是 30。

解：

（1）x除以 100 余数是 30，即x = 100q + 30，如 30、130、230…… 可见这些数的十位数字都是 3，充分。

（2）x除以 110 余数是 30，即x = 110p + 30，如 30、140、250、360…… 十位数字有多种可能，不充分。答案：A。


例题 4（简单）

What is the remainder when the positive integer n is divided by 6?

(1) n is multiple of 5

(2) n is a multiple of 12

正整数n除以 6 的余数是多少？（1）n是 5 的倍数。（2）n是 12 的倍数。

解：

（1）n是 5 的倍数。若n = 5，除以 6 余数是 5；若n = 10，除以 6 余数是 4。有不同答案，不充分。

（2）n是 12 的倍数，12 的倍数也是 6 的倍数，所以n除以 6 余数是 0，充分。答案：B。


例题 5（中等）

If s and t are positive integers such that s/t = 64.12, which of the following could be the remainder when s is divided by t ?若正整数s和t满足s/t = 64.12，那么s除以t的余数可能是以下哪个？选项：A. 2 B. 4 C. 8 D. 20 E. 45

解：s除以t余数为r时，可表示为s/t = q + (r/t)（即s = qt + r），其中q是商，r是余数。

即r必须是 3 的倍数。只有选项 E 是 3 的倍数。答案：E。


例题 6（中等）

Positive integer n leaves a remainder of 4 after division by 6 and a remainder of 3 after division by 5. If n is greater than 30, what is the remainder that n leaves after division by 30?

正整数n除以 6 余 4，除以 5 余 3，且n大于 30，那么n除以 30 的余数是多少？选项：A. 3 B. 12 C. 18 D. 22 E. 28

解：

n除以 6 余 4，即n = 6p + 4，可能的数有：4、10、16、22、28……

n除以 5 余 3，即n = 5q + 3，可能的数有：3、8、13、18、23、28……

可推导通式：除数是 5 和 6 的最小公倍数 30，余数是两个序列中第一个公共数 28，即n = 30m + 28。因此n除以 30 的余数是 28。答案：E。


例题 7（中等）

If x^3 - x = n and x is a positive integer greater than 1, is n divisible by 8?

(1) When 3x is divided by 2, there is a remainder.

(2) x = 4y + 1, where y is an integer.

若x^3 - x = n，且x是大于 1 的正整数，n能被 8 整除吗？（1）3x除以 2 有余数。（2）x = 4y + 1，其中y是整数。

解：

x^3 - x = x(x^2 - 1) = (x - 1)x(x + 1)，这是三个连续整数的乘积。若x是奇数，x - 1和x + 1是连续偶数，其中一个能被 4 整除，故(x - 1)(x + 1)能被2*4 = 8整除。

（1）3x除以 2 有余数，说明 3x是奇数，即x是奇数，因此(x - 1)x(x + 1)能被 8 整除，充分。

（2）x = 4y + 1，x是奇数，因此(x - 1)x(x + 1)能被 8 整除，充分。答案：D。


例题 8（困难）

When 51^25 is divided by 13, the remainder obtained is:

51^25除以 13 的余数是多少？选项：A. 12 B. 10 C. 2 D. 1 E. 0

解：51^25 = (52 - 1)^25，展开后除最后一项外，其余项都含 52（52 = 13*4），除以 13 无余数，最后一项是(-1)^25 = -1。-1 除以 13 的余数是 12（因为-1 = 13*(-1) + 12）。答案：A。


例题 9（困难）

When positive integer x is divided by 5, the remainder is 3; and when x is divided by 7, the remainder is 4. When positive integer y is divided by 5, the remainder is 3; and when y is divided by 7, the remainder is 4. If x > y, which of the following must be a factor of x - y?

正整数x除以 5 余 3，除以 7 余 4；正整数y除以 5 余 3，除以 7 余 4，且x > y，那么x - y的因数必须是以下哪个？选项：A. 12 B. 15 C. 20 D. 28 E. 35

解：x除以 5 余 3，即x = 5q + 3（可能的数：3、8、13、18、23……）；除以 7 余 4，即x = 7p + 4（可能的数：4、11、18、25……）。

推导通式：除数是 5 和 7 的最小公倍数 35，余数是第一个公共数 18，即x = 35m + 18；同理y = 35n + 18。x - y = 35(m - n)，因此x - y必须是 35 的倍数。答案：E。


例题 10（困难）

If p, x, and y are positive integers, y is odd, and p = x^2 + y^2, is x divisible by 4?

(1) When p is divided by 8, the remainder is 5

(2) x – y = 3

若p、x、y是正整数，y是奇数，且p = x^2 + y^2，x能被 4 整除吗？（1）p除以 8 的余数是 5。（2）x - y = 3

解：

（1）p除以 8 余 5，即p = 8q + 5 = x^2 + y^2。因y是奇数，设y = 2k + 1，则8q + 5 = x^2 + (2k + 1)^2，化简得x^2 = 4(2q + 1 - k^2 - k)。若k是奇数，2q + 1 - k^2 - k是奇数；若k是偶数，2q + 1 - k^2 - k也为奇数。故x^2 = 4*奇数，x^2不是 16 的倍数，所以x不是 4 的倍数，充分。

（2）x - y = 3，即x = y + 3，y是奇数，所以x是偶数，但无法确定是否是 4 的倍数，不充分。答案：A。


例题 11（困难）

m和n是正整数，（10^m + n）/3 的余数是否大于(10^n + m) /3 的余数？（1）m > n（2）n除以 3 的余数是 2

解：任何正整数除以 3 的余数只有 0、1、2 三种。由于10^m和10^n的数字和都是 1，所以(10^n + m) /3 和（10^m + n）/3的余数仅由n和m决定，分三种情况：

若加数是 0、3、6……，余数是 1；

若加数是 1、4、7……，余数是 2；

若加数是 2、5、8……，余数是 0。

（1）m > n，不充分。

（2）n除以 3 余 2，即n是 2、5、8……，属于第三种情况，故（10^m + n）/3的余数是 0。而(10^n + m) /3的余数是 0、1 或 2，所以0不大于它们，答案为 “否”，充分。答案：B。