我们此前已详细探讨过标准差的相关内容。我们知道计算一组数据标准差的公式，但同时也清楚，GMAT考试并不会要求我们实际算出标准差的具体数值，因为相关计算过程太过繁琐。不过，掌握这个公式依然十分必要，它能帮助我们比较不同数据集的标准差大小，这是一个我们需要熟练掌握的考点。


今天，我们来看几道GMAT相关题目，这些题目中的数据集标准差数值相近，如果不能准确理解标准差的计算原理，就很难判断哪组数据的标准差更大。先看下面这道题：

题目1：Which of the following distribution of numbers has the greatest standard deviation?


(A) {-3, 1, 2}


(B) {-2, -1, 1, 2}


(C) {3, 5, 7}


(D) {-1, 2, 3, 4}


(E) {0, 2, 4}


乍看之下，这几组数据的分布十分相似。如果我们试着把它们标注在数轴上，会发现它们的分布规律也相近，很难直接判断哪组数据的标准差最大。我们来快速计算各组数据与算术平均值的偏差值：


选项A：平均值=0，偏差值分别为3、1、2

选项B：平均值=0，偏差值分别为2、1、1、2

选项C：平均值=5，偏差值分别为2、0、2

选项D：平均值=2，偏差值分别为3、0、1、2

选项E：平均值=2，偏差值分别为2、0、2


我们不必纠结算术平均值的具体数值（平均值只是帮助我们计算每个数据与均值的偏差），重点应放在偏差值上。标准差的计算公式是：先将每个数据的偏差值平方，然后求平方值的总和，再用总和除以数据的个数，最后对计算结果开平方。由此可见，某个数据的偏差值越大，其平方值就会越大，进而会拉高整组数据的标准差。


需要注意的是，如果一组数据的偏差值增大，同时数据的个数也增多，我们就无法直接判断标准差的变化趋势——偏差值增大会使标准差上升，而数据个数增多会让计算公式中的分母变大，反而会导致标准差降低。最终标准差是升是降，要结合具体情况分析。


首先我们可以发现，选项C和选项E的偏差值完全相同，数据个数也一样，因此它们的标准差必然相等。而GMAT的单项选择题只有一个正确答案，所以选项C和E肯定不是正确选项。

接下来我们分析剩下的三个选项：


选项A：平均值=0，偏差值分别为3、1、2

选项B：平均值=0，偏差值分别为2、1、1、2

选项D：平均值=2，偏差值分别为3、0、1、2


对比选项A和D，两组数据的偏差值完全一致，但选项D的数据个数更多。这意味着选项D计算公式中的分母更大，因此其标准差小于选项A。现在就只剩下选项A和B需要比较：

选项A：平均值=0，偏差值分别为3、1、2

选项B：平均值=0，偏差值分别为2、1、1、2


我们可以看到，虽然选项A和B有两个偏差值相同，但选项A存在一个更大的偏差值3，且数据个数比选项B更少。这就意味着选项A的标准差要大于选项B，因此选项A的标准差是所有选项中最大的。综上，本题答案为A。


我们再来看另一道题：

题目2：Which of the following data sets has the third largest standard deviation?


(A) {1, 2, 3, 4, 5}


(B) {2, 3, 3, 3, 4}


(C) {2, 2, 2, 4, 5}


(D) {0, 2, 3, 4, 6}


(E) {-1, 1, 3, 5, 7}


如果不计算标准差的具体数值，该如何解答这道题呢？我们需要把这几组数据按照标准差从小到大的顺序排列。仔细观察后可以发现，每组数据的元素个数都是5个，且每组数据的平均值都是3。


我们先计算各组数据的偏差值：

选项A：偏差值分别为2、1、0、1、2

选项B：偏差值分别为1、0、0、0、1（标准差最小）

选项C：偏差值分别为1、1、1、1、2

选项D：偏差值分别为3、1、0、1、3

选项E：偏差值分别为4、2、0、2、4（标准差最大）


显然，选项B的标准差最小（偏差值整体最小），选项E的标准差最大（偏差值整体最大）。


因此这两个选项可以直接排除，它们不可能是标准差排名第三的选项。


剩下需要比较的三组数据偏差值如下：

选项A：偏差值分别为2、1、0、1、2

选项C：偏差值分别为1、1、1、1、2

选项D：偏差值分别为3、1、0、1、3


对比这三组数据，选项D的标准差大于选项A，因为选项D有两个3的偏差值，而选项A对应的偏差值是两个2。此外，选项C的数据分布比选项A更集中，它有四个1的偏差值。如果对此有疑问，我们可以计算偏差值的平方和来验证：


选项C偏差值的平方和：1+1+1+1+4=8

选项A偏差值的平方和：4+1+0+1+4=10


由此可见，选项A的标准差大于选项C，但小于选项D。将所有选项按照标准差从小到大排序，结果为：B<C<A<D<E。因此选项A的标准差排名第三，本题答案为A。


虽然在解题过程中，我们没有必要计算出标准差的具体数值，但我们运用了标准差公式的核心原理，从而顺利解答了这些题目。