GMAT比较爱出数列类题目，但考生们对这个考点的好感度显然没那么高。这种反应其实有点反常 ， 数列本质上就是一组数字的集合，它可以是无限数列，也可以是有限数列，但恰恰是这种开放性和高度抽象性，让很多人在面对数列题时，难以在脑海中梳理出清晰的解题思路。


如果你也是反感数列题的一员，那你可以先放宽心：出题人最厉害的 “武器”，其实就是这类题目引发的恐惧心理。而如果你有关注我们一段时间，就会知道克服这种焦虑的最佳方法：把抽象概念转化为具体内容，要么列出数列的前几项，要么结合选项反向推导。


我们来看一道例题：

For a certain set of numbers, if x is in the set, then x – 3 is also in the set. If the number 1 is in the set, which of the following must also be in the set?

I. 4
II. -1
III. -5

A) I only
B) II only
C) III only
D) I and II
E) II and III

我们来一步步列出这个集合里的元素。已知 1 在集合中，若x=1，则x−3=1−3=−2，因此 - 2 也在集合中。接着，若x=−2在集合中，则x−3=−2−3=−5，因此 - 5 也在集合中。


看到这里，规律已经很明显了：数列中的每一项都比前一项小 3，完整数列如下：1,−2,−5,−8,−11⋯


对照选项来看，只有 Ⅲ 一定在集合中。这道题就解完了，答案是 C。


你可能会说：“这题也太简单了，跟我在 GMAT 考场上遇到的题完全不是一个难度。” 但首先，这道题是真题，你没理由觉得自己不会碰到类似的题目；其次，你可能想不到，这道题的错误率其实很高。


很多人会下意识地认为：既然 1 在集合里，那 4 肯定也在集合里。确实，这种可能性是存在的 ，如果x=4，那么x−3=1。但问题的关键在于，题目问的是 “一定在集合中的数字”。4 有可能在集合里，但也有可能这个集合就是从 1 开始的，这种情况下 4 就不在集合中。正是这个小小的陷阱，让无数考生栽了跟头。


当然，你肯定会说，数列题肯定有更难的。确实如此。既然你这么迫切地想试一下难题，那我们就来看这道：

The sequence a1, a2, a3, . . , an of n integers is such that ak = k if k is odd and ak = -ak-1 if k is even. Is the sum of the terms in the sequence positive?

1) n is odd

2) an is positive

这道题属于DI中的DS，看起来确实比上一道复杂得多，但解题思路是相通的。我们先根据通项规则，列出数列的前几项：


a1​是数列的第一项。已知当k为奇数时，ak​=k。1 是奇数，因此a1​=1。


a2​是数列的第二项。已知当k为偶数时，ak​=−ak−1​。2 是偶数，因此a2​=−a1​。代入a1​=1，可得a2​=−1。


到这里，数列的前两项是：1,−1


我们继续推导：


a3​是数列的第三项。3 是奇数，因此a3​=3。


a4​是数列的第四项。4 是偶数，因此a4​=−a3​。代入a3​=3，可得a4​=−3。


现在数列的前四项是：1,−1,3,−3


规律已经一目了然了：所有奇数项都是正数，数值等于它的项数；所有偶数项都是负数，数值是前一项的相反数。


接下来我们计算数列的前几项和，看看有什么规律：

  • 前 1 项的和：1（正数）
  • 前 2 项的和：1+(−1)=0
  • 前 3 项的和：1+(−1)+3=3（正数）
  • 前 4 项的和：1+(−1)+3+(−3)=0


由此可以总结出规律：当数列的项数为奇数时，数列和为正数；当项数为偶数时，数列和为 0。


因此，原问题 “该数列所有项的和是否为正数？” 可以直接转化为 “该数列的项数n是否为奇数？”


现在我们来分析两个条件：

  • 条件 1：明确指出n为奇数。这直接回答了我们转化后的问题 —— 项数为奇数时，数列和为正数。因此，条件 1 单独充分。
  • 条件 2：指出数列的最后一项an​为正数。根据我们总结的数列规律，只有奇数项的数值为正数，这说明最后一项是奇数项，即项数n为奇数。数列和必然为正数。因此，条件 2 单独充分。


综上，两个条件都能单独充分回答问题，答案是 D。

核心要点：数列题完全没必要畏惧。和 GMAT 的其他题型一样，我们需要克服的最大障碍，是 “我不知道该怎么下手” 的自我设限。而实际上，我们要做的，只是把题目变得简单一点而已。