公理：一个知识点的传统公式越复杂，它在 GMAT 考试里的实际计算就越简单。


来说说标准差，如果你看到这个词的第一反应是一连串慌慌张张的疑问：要不要背统计学课上学的那个可怕公式啊？（不用。）要不要搞懂方差和标准差的关系啊？（只需要知道两者有关联，能算出其中一个就能算出另一个就行。）诸如此类。


与其絮絮叨叨说一堆 “不用掌握” 的内容，不如直接提炼出解标准差题需要掌握的核心知识点。好消息是，要记的东西真不多。只要吃透下面这几点就够了：

  1. 标准差是衡量一组数据中各数值偏离平均值程度的指标。数值离平均值越远，标准差就越大。
  2. 若给一组数据中的每个数值都加上或减去同一个数x，这组数据的标准差保持不变。
  3. 若给一组数据中的每个数值都乘以同一个数x，这组数据的标准差也会乘以这个数x。
  4. 若一组数据的平均值为m，标准差为d，那么 “某个数值在平均值 3 个标准差范围内”，就意味着这个数值落在区间(m−3d)到(m+3d)之间；同理，“在平均值 2 个标准差范围内”，就是落在区间(m−2d)到(m+2d)之间。


基本就是这些，完全没必要紧张。接下来我们用几道题看看这些原则怎么用，以此证明这类题根本不用费劲儿算：


例题 1：If d is the standard deviation of x, y, z, what is the standard deviation of x+5, y+5, z+5 ?

A) d

B) 3d

C) 15d

D) d+5

E) d+15


原数据集是x,y,z，新数据集是x+5,y+5,z+5， 相当于给原数据集中的每个数值都加了同一个数 5。我们已经知道，给一组数据的每个数值加同一个数，标准差不会变。所以如果原标准差是d，新标准差还是d。这题就解完了，答案是 A。（举个简单例子就能验证：原数据集是{1,2,3}，新数据集是{6,7,8}，两组数据的离散程度明显没变化。）


你肯定会说，题目不可能都这么简单吧？确实会难一点，但只要掌握了上面的核心知识点，都能轻松搞定。再看这道题：


例题 2：Some water was removed from each of 6 tanks. If standard deviation of the volumes of water at the beginning was 10 gallons, what was the standard deviation of the volumes at the end?

1) For each tank, 30% of water at the beginning was removed

2) The average volume of water in the tanks at the end was 63 gallons


我们已知抽水前的标准差，要判断能不能求出抽水后的标准差。现在来分析两个条件：


条件 1 分析：每个水箱都抽走 30% 的水，相当于每个水箱剩余的水量是原来的0.7倍 ， 也就是给原数据集中的每个数值都乘以了同一个数0.7。根据知识点，一组数据的每个数值都乘以0.7，标准差也会乘以0.7。原标准差是 10 加仑，新标准差就是10×0.7=7加仑。其实我们甚至不用算这个数，只要确定能算出来就行。因此，条件 1 单独充分。


条件 2 分析：只知道一组数据的平均值，根本没法判断它的离散程度。举个简单例子：假设有 2 个水箱，抽水后的平均水量是 63 加仑。有可能两个水箱的水量都是 63 加仑，这时标准差为 0；也有可能一个水箱有 126 加仑，另一个水箱空着，这时标准差就会远大于 0。所以，光知道平均值肯定求不出标准差。条件 2 单独不充分。


综上，这道题的答案是 A。


或许你现在想找点更难的？那就来看这道稍复杂的题目：


例题 3

7.51; 8.22; 7.86; 8.36

8.09; 7.83; 8.30; 8.01

7.73; 8.25; 7.96; 8.53

A vending machine is designed to dispense 8 ounces of coffee into a cup. After a test that recorded the number of ounces of coffee in each of 1000 cups dispensed by the vending machine, the 12 listed amounts, in ounces, were selected from the data above. If the 1000 recorded amounts have a mean of 8.1 ounces and a standard deviation of 0.3 ounces, how many of the 12 listed amounts are within 1.5 standard deviations of the mean?

A) 4

B) 6

C) 9

D) 10

E) 11


已知标准差是 0.3 盎司，我们要找的是 “在平均值 1.5 个标准差范围内” 的数值。先算 1.5 个标准差是多少：1.5×0.3=0.45盎司。也就是说，我们要找的数值，需要落在平均值上下 0.45 盎司的区间内。


平均值是 8.1 盎司，所以区间下限是8.1−0.45=7.65盎司，上限是8.1+0.45=8.55盎司。


现在看这 12 个数值，只有7.51这一个数落在了7.65到8.55这个区间之外。总共有 12 个数，1 个不在范围内，就有 11 个在范围内。所以答案是 E。


你看，就算是难度高一点的题，实际计算量也很小。


记住这条公理 ： 一个概念的公式看起来越复杂，它在 GMAT 考试里的计算就越简单。在这场考试中，对知识点的直观理解，永远比高超的计算技巧更管用。