针对两个事件的基础概率公式和集合公式非常相似：

P (A 或 B) = P (A) + P (B) – P (A 且 B)

  • P (A)：事件 A 发生的概率
  • P (B)：事件 B 发生的概率
  • P (A 或 B)：代表 “并集”，即至少有一个事件发生的概率
  • P (A 且 B)：代表 “交集”，即两个事件同时发生的概率

那么如何计算 P (A 且 B) 呢？它的取值取决于事件 A 和 B 之间的关系，我们分三种情况讨论：


1) A 和 B 是独立事件

如果 A 和 B 是独立事件（比如 “老师布置数学作业” 和 “气温超过 30 摄氏度”），那么两者同时发生的概率等于各自概率的乘积。

举个例子：

  • P (A) = P (老师布置数学作业) = 0.4
  • P (B) = P (气温超过 30 摄氏度) = 0.3
  • 则 P (A 且 B 发生) = 0.4 × 0.3 = 0.12


2) A 和 B 是互斥事件

如果 A 和 B 是互斥事件，意味着它们不能同时发生（比如 “抛硬币得到正面” 和 “抛硬币得到反面”—— 抛一次硬币不可能同时出现正反；再比如 “今天下雨” 和 “今天不下雨”—— 两者只能发生一个）。

这种情况下，P (A 且 B 发生) = 0


3) A 和 B 是其他关联事件

A 和 B 可能存在关联，但既不是独立事件也不是互斥事件（比如 “股市上涨 100 点” 和 “股票 S 上涨 10 点”）。这种情况下，两者同时发生的概率通常需要题目给出，但我们可以求出它的取值范围：

  • P (A 且 B) 的最大值：等于 P (A) 和 P (B) 中较小的那个值。比如 P (A)=0.4，P (B)=0.7，则交集的最大概率是 0.4（因为 A 发生的概率本身只有 0.4，两者同时发生的概率不可能超过 A 单独发生的概率）。
  • P (A 且 B) 的最小值：由于概率的最大值是 1，因此 P (A 或 B) 的最大值为 1。结合公式：1 = P (A) + P (B) – P (A 且 B)代入 P (A)=0.4、P (B)=0.7，可得：P (A 且 B) = 0.4 + 0.7 - 1 = 0.1

因此，P (A 且 B) 的实际取值会在 0.1 到 0.4 之间（包含两端）。


用 GMAT 题巩固知识点

There is a 10% chance that Tigers will not win at all during the whole season. There is a 20% chance that Federer will not play at all in the whole season. What is the greatest possible probability that the Tigers will win and Federer will play during the season?

(A) 55%

(B) 60%

(C) 70%

(D) 72%

(E) 80%


首先整理已知条件：

  • P (老虎队不赢球) = 0.1 → P (老虎队赢球) = 1 - 0.1 = 0.9
  • P (费德勒不参赛) = 0.2 → P (费德勒参赛) = 1 - 0.2 = 0.8

我们不知道 “老虎队赢球”（A）和 “费德勒参赛”（B）的关系：既不是互斥事件，也不确定是否独立。

  • 若两者独立，P (A 且 B) = 0.9 × 0.8 = 0.72
  • 若关系未知，P (A 且 B) 的最大值等于 P (A) 和 P (B) 中较小的那个值（即 0.8）

因为 0.8（80%）更大，所以 “老虎队赢球且费德勒参赛” 的最大可能概率是 80%，答案选 E。