有一类比较少见的题目会涉及群体成员的重叠集合，这类题其实难度不高，但对于从未接触过的考生来说，可能会无从下手。

举个例子：某小区共有 100 名住户，小区附近有 A、B 两家俱乐部。已知在这 100 名住户中，有 60 人是俱乐部 A 的会员，50 人是俱乐部 B 的会员。


问题 1：同时加入两家俱乐部的住户有多少人？

我们要计算的是韦恩图中绿色重叠区域的人数。这道题的答案不是 10，而是无法确定，也就是说我们无法算出同时加入两家俱乐部的具体人数，。

假设在后续所有题目中（除非另有说明），已知有 20 人两家俱乐部都不加入，那么我们能否算出同时加入两家俱乐部的人数呢？此时，在 100 名住户里，有 20 人不属于任何一家俱乐部，因此只有 80 人是俱乐部会员。已知俱乐部 A 有 60 人、俱乐部 B 有 50 人，两者相加为 110 人，这说明必然有 30 人是两家俱乐部的共同会员，即重叠人数为 30 人。我们可以通过公式验证：80 = 60 + 50 − 两家都加入的人数。


问题 2：只加入一家俱乐部的住户有多少人？

我们已经算出有 30 人同时加入两家俱乐部。因此在俱乐部 A 的 60 人中，有 30 人只加入了俱乐部 A；在俱乐部 B 的 50 人中，有 20 人只加入了俱乐部 B。由此可得，只加入一家俱乐部（仅 A 或仅 B）的总人数为 30 + 20 = 50 人。这个结果也可以通过公式推导：(60 − 两家都加入的人数) + (50 − 两家都加入的人数) = 30 + 20 = 50。


问题 3：若不知道两家俱乐部都不加入的住户数量，那么同时加入两家俱乐部的人数最少是多少？

已知小区总人数为 100 人，俱乐部 A 有 60 人、俱乐部 B 有 50 人，两者相加为 110 人，比总人数多出 10 人。因此，至少有 10 人同时加入了两家俱乐部。进一步分析可以发现，如果两家俱乐部都不加入的人数增加，那么同时加入两家俱乐部的人数也会随之增加。我们可以结合韦恩图理解：“两家都不加入” 的人数越多，俱乐部会员的总人数就越少，而为了保证俱乐部 A 和 B 的人数分别为 60 和 50，重叠部分的人数就必须相应增加。


接下来我们看一道典型例题

Of the 400 members at a health club, 260 use the weight room and 300 use the pool. If at least 60 of the members do not use either, then the number of members using both the weight room and the pool must be between:
(A) 40 to 100
(B) 80 to 140
(C) 160 to 260
(D) 220 to 260
(E) 220 to 300


我们需要明确一个核心逻辑 ： 当 “两种设施都不使用的会员人数” 取最小值时，“同时使用两种设施的会员人数” 也会取到最小值。


核心公式如下：

总人数=A类人数+B类人数−两类都满足的人数+两类都不满足的人数

这是GRE 重叠集合问题唯一需要记的公式。


在本题中，总人数 400 是固定值，使用力量训练室的 260 人和使用泳池的 300 人也是固定值。根据公式可以推出：如果 “两种设施都不使用的人数” 增加，为了维持等式成立，“同时使用两种设施的人数” 也必须相应增加。


已知 “两种设施都不使用的人数” 最少为 60，将其代入公式即可算出 “同时使用两种设施的人数” 的最小值：

400=260+300−同时使用的最小人数+60

计算可得，同时使用两种设施的最小人数为 220。


同理，当 “两种设施都不使用的人数” 取最大值时，“同时使用两种设施的人数” 也会取到最大值。那么 “两种设施都不使用的人数” 最多是多少呢？总共有 400 名会员，其中 300 人使用泳池，这意味着至少有 300 人会使用两种设施中的一种，因此两种设施都不使用的会员人数最多为 400 − 300 = 100。


将这个最大值代入公式，即可算出 “同时使用两种设施的人数” 的最大值：

400=260+300−同时使用的最大人数+100

计算可得，同时使用两种设施的最大人数为 260。


因此，同时使用力量训练室和泳池的会员人数范围是 220 到 260，答案选 D。