12 能被 3 整除，24700 是 100 的倍数，x 除以 15 的结果为整数，6 是 17k 的因数。只要题目中出现这类表述 ——整除、倍数、整数、因数，就意味着你要开始解一道整除问题了。你是否会对这类题目感到无从下手？是否有时根本不知道该从哪里切入？如果是这样，本文将为你提供一种简单易懂的整除问题解题思路，适用于各类 GRE 数学考题。

质数是构成数字的 “基本积木”

可以把每个整数都看作是由质数 “积木” 搭建而成的，这些质数积木通过相乘组合在一起。

每个数字的质数积木组合都是独一无二的。将 20 分解为质数相乘的形式，唯一的结果就是 2×2×5。因为 2 和 5 都是质数，无法再进一步拆分 —— 从这个角度来说，质数就像是构成分子的原子。

用 GRE 数学的专业术语表述，20 的质因数分解式就是 2×2×5，而 20 的质因数是 2 和 5。（顺便提一句，题目会明确说明是否要求计入重复的质因数，比如这里的第二个 2！）

质因数的求解方法

所有整除问题的本质，其实都是质因数问题。解决这类题目的核心数学技能，就是快速将数字分解为质因数相乘的形式，具体方法可以用质因数分解树。

假设你需要对整数 25200 进行质因数分解，先任选一个能整除它的数。这里我们选 100，因为这个数计算起来很简便。不用非得选小数，选最容易计算的数就好。用这个数把 25200 拆成乘积形式：25200 = 100×252。

接下来，对拆分后的两个小数重复上述操作。

此时，拆分后的数字中，有一个已经是质数，无法再继续分解。继续这个过程，直到所有拆分出的数字都变成质数为止。

分解树中所有的质数，就是 25200 的质因数。

反复练习这项技能，直到你能在 30 秒内完成一次质因数分解树的绘制。一个不错的训练方法是：找出 100 以内所有数字的质因数，给自己计时，看看完成速度有多快。如果能在 8 分钟内完成，就说明你的熟练度已经达标了。

整除问题的黄金法则

这条核心法则可以帮你解决所有 GRE 整除问题：

一个大数能被一个小数整除等价于这个大数的质因数集合，包含了小数的所有质因数

举个例子，25200 能被 100 整除。观察这两个数字的质因数积木就会发现，100 的所有质因数积木，都包含在 25200 的质因数积木中。

但反过来，25200 不能被 250 整除。

原因是 250 有一个质因数积木 —— 也就是第三个 5—— 是 25200 所没有的。这就意味着，如果你尝试用 25200 除以 250，最终得到的结果会是一个分数，因为两者的质因数无法完全抵消。

黄金法则的实战应用

下面这道题：

If k is a multiple of 24 but not a multiple of 16, which of the following cannot be an integer?(A) k/8(B) k/9(C) k/32(D) k/36(E) k/81

第一步，分析题目条件。k 是 24 的倍数，说明 k 的质因数集合包含 24 的所有质因数。如果完成了前面的训练，你应该已经知道 24 的质因数是 2、2、2 和 3。

k 可能还包含其他质因数，也可能没有。目前你能确定的是，k 的质因数中有且仅有三个 2 和一个 3。

同时题目还给出条件：k 不是 16 的倍数。这说明 k 的质因数集合不包含 16 的所有质因数 ——16 的质因数是四个 2。也就是说，k 的质因数里已经有三个 2 了，不可能再多出第四个，否则 k 就会成为 16 的倍数。

综上可得：k 的质因数包含且仅包含三个 2、至少一个 3，还可能包含其他未知的质数。在这种情况下，哪些数无法整除 k？我们逐一分析选项：

  • (A) 8 能整除 k，因为 k 的质因数里有三个 2，结果为整数。
  • (B) 9 有可能整除 k，因为 k 的质因数里可能存在两个 3，结果有可能为整数。
  • (C) 32 无法整除 k，因为 32 的质因数是五个 2，而 k 只有三个 2，k/32 的结果一定不是整数。因此答案选 (C)。

后续学习建议

本文并没有涵盖 GRE 整除问题的所有知识点，要全面掌握这一考点。不过，在开始练习整除问题之前，你可以先记住以下几个核心要点：

  1. 每个数字都由质数 “积木” 构成。解整除问题的第一步，就是把所有大数都拆成质因数积木。
  2. 要快速求质因数，就用质因数分解树。现在花几分钟练习绘制分解树，考场上就能节省大量时间。
  3. 每次遇到整除问题，就提醒自己：“能被…… 整除” 等价于 “包含…… 的所有质因数”。用这种方式转化题目，解题思路会清晰很多。