在难度较高的 GRE 几何题中，有几种图形会反复出现。以下是我们为大家梳理的三类高频图形：

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这三类图形的共性在于，它们均由相似三角形构成。如果能做到一眼识别这些图形，你就不用再费时费力去证明三角形相似，只需直接确认这个结论，推进解题的下一步即可。


什么是相似三角形？它们为何实用？


两个三角形要相似，内角必须完全相等。它们的边长不一定相同，但只要内角对应一致，二者就是 “形状相同” 的三角形：

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要判定两个三角形相似，无需逐一比对所有内角，只要两组内角对应相等即可。你能解释背后的原理吗？


一旦确定两个三角形相似，就可以找到一组对应边，计算出它们的边长比例。这个比例适用于三角形的三组对应边。如果大三角形的某条边长是小三角形对应边的两倍，那么三组对应边的比例都会是 2:1。这正是相似三角形在 GRE 考试中的实用之处：只要识别出相似关系，就能快速推导边长的比例关系。


三类高频图形详解


上述三类图形，是相似三角形最常见的 “隐藏形式”。

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在该图形中，两条竖边相互平行。根据平行线截线定理，图中标记为红色的两个角大小相等：


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此外，几何中有一条定理：两条直线相交，对顶角相等。因此，图中标记为蓝色的两个角也相等：

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两组内角对应相等，这两个三角形即为相似三角形。牢记这类图形的特征，考场上一旦见到，就可以直接着手计算边长比例。


第二类图形是一个三角形内嵌于另一个三角形，且两个三角形的底边相互平行。同理，依据平行线截线定理，图中相同颜色标记的内角均相等：

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不妨利用这对相似三角形，试着求解这道题：

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最后思考一个问题：你能证明第三类图形中的三个三角形均相似吗？提示：它们都是直角三角形—— 这是解题的关键信息。先尝试自主推导，再对照下方的解析图验证：

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设最小的内角为x，再结合三角形内角和为 180° 的定理分析。由于这三个三角形都是直角三角形，各有一个 90° 的直角。据此即可推导得出：三个三角形的内角均为x、90°−x和90°，因此三者彼此相似。


如何在 GRE 考试中活用这一知识点


相似三角形的解题难点，在于识别相似关系。你固然可以通过逐一比对内角，繁琐地完成相似证明，但更高效的方法，是牢记这些相似三角形的高频图形。考场上遇到几何题，若图形和上述三类中的任意一种相符，就立刻去寻找可比对的边长。要知道，这些图形中的三角形必然相似，掌握这个技巧，能帮你在考场上节省大量时间和精力。