每当GMAC发布新的备考资料时，我们总会格外留意其中显著的命题趋势，那些看似冷门、实则能在多道题目中派上用场的规律。近期，一类涉及有限小数的题目出现频率明显上升。单看概念本身，其实并不算难：比如1/2换算成小数是0.5，这就是有限小数，因为它的小数部分到某一位就终止了；而1/3换算成小数是0.33333....，小数部分无限循环，因此不属于有限小数。这个概念理解起来毫不费力，于是你可能会想：“只要做个简单的除法运算，就能判断一个分数能不能化成有限小数了，对吧？”


可当你看到下面这道题时，就会发现事情没那么简单:


Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?

A) 10/189

B) 15/196

C) 16/225

D) 25/144

E) 39/128


如果你试着计算10÷189，很快就会意识到：要是挨个用分子除以分母来判断，这道题会变得极其繁琐且耗时。其实我们要明白，GMAT 考试的目的，从来不是考察考生会不会做冗长的算术题，而是评估我们在压力下识别规律的能力。


一般来说，发现规律的最佳方法是：先用简单数字推导规律，再把规律应用到复杂的题目场景中。前面我们已经知道1/2是有限小数，1/3不是。我们顺着这个思路继续推导，看看能发现什么（有限小数标注为粗体）：


½ = 0.5


1/3 = 0.3333…


¼ = 0.25


1/5 = 0.2


1/6 = 0.166666…


1/7= 0.142857…


1/8 = 0.125


1/9 =0.1111


1/10 = 0.1


接下来，我们观察这些能化成有限小数的分数，看看它们的分母有什么共同特征。结果发现：每个分数在最简形式下，分母的质因数分解式里只包含 2、5 这两个质数，或者同时包含 2 和 5。这就是判断有限小数的通用法则：若一个分数是最简分数，且分母的质因数分解式可以写成2^x *  5^y（其中x和y为非负整数）的形式，那么这个分数就能化成有限小数。


现在回到刚才的题目，我们可以把问题重新表述为：以下哪个选项的分母，其质因数分解式仅包含 2、仅包含 5，或者同时包含 2 和 5？


这样一来，解题思路就清晰多了。不过在埋头分解质因数之前，我们不妨站在出题人的角度思考一下。解这道题，必须逐一分析选项，大多数考生会习惯从 A 选项开始往下排查。如果出题人想设计一道耗时的难题，会把正确答案放在哪里呢？大概率是 D 或 E 选项。所以遇到这类题，我们最好从后往前倒着分析选项。


来看 E 选项：39/128。分母是 128，质因数分解式为2^7，只包含质数 2。根据刚才总结的法则，这个分数的小数形式一定是有限小数。到这里我们就能确定答案了，正确选项就是 E。（从直觉上看，这个方法比做长除法要高效得多。）


在我们把这个法则牢记于心之前，不妨验证一下它在其他题型中的适用性 —— 毕竟，只能解决一道题的规律没什么实用价值。下面我们就用这个规律来解一道DS题：


Any decimal that has only a finite number of nonzero digits is a terminating decimal. For example, 24, 0.82, and 5.096 are three terminating decimals. If r and s are positive integers and the ratio r/s is expressed as a decimal, is r/s a terminating decimal?


(1) 90 < r < 100

(2) s = 4


如果我们把问题转化为 “当r/s为最简分数时，其分母的质因数分解式是否只包含 2 或 5？”，这道题就会变得简单很多。


条件 (1) 单独不充分。这个条件只给出了分子r的取值范围，完全没提到分母s。比如91/2是有限小数，但91/3就不是。


条件 (2) 单独充分。分母s=4，质因数分解式为2^2。根据我们总结的有限小数法则，任何分子除以 4 得到的小数，一定是有限小数。


因此这道题的答案是 B，即仅条件 (2) 就足以回答问题。


核心要点：备考 GMAT 时，你可能会觉得需要记忆的定理、公理和公式无穷无尽。但我们的备考目标，是找出那些能在多种题型中通用的规律并熟练掌握。如果遇到一道看似耗时的题目，一时又想不起对应的规律，不妨用简单数字推导规律，再应用到题目中。