18 世纪伟大数学家卡尔・弗里德里希・高斯有一则趣闻广为流传。据说高斯年少时在学校十分调皮，有一次他因扰乱课堂秩序被罚，老师要求他计算出从 1 到 100 所有整数的和，本以为这项计算繁琐耗时，能消磨掉高斯的精力。不料高斯只是挠了挠头，思索几秒后便脱口而出答案：5050。而当时的他，年仅七岁。


那么，一个十岁孩童何以在脑中完成如此庞大的计算？答案就在于巧用等差数列的性质。顾名思义，等差数列是指一组数列中，相邻两项的差值（公差）始终相等的数列。比如连续的整数数列、连续的 2 的倍数数列、连续的 3 的倍数数列等，都属于等差数列。


等差数列有一个恒定不变的性质：数列的中位数等于其算术平均数。此外，该数列的算术平均数还可通过 “（首项 + 末项）÷ 2” 快速计算得出。结合公式 总和 = 平均数 × 项数，我们就能轻松算出任意长等差数列的总和。


以计算 1 到 100 所有整数的和为例，具体步骤如下：


计算平均数：


平均数 = (首项 + 末项)÷2 = (100+1)÷2 = 101÷2 = 50.5


确定项数：


从 1 到 100 的整数共有 100 项。严格来说，等差数列的项数计算公式为 项数 = [(末项 - 首项)÷ 公差] + 1。此处需要注意，公式末尾的 “+1” 必不可少，这是为了避免漏掉数列的最后一项。


计算总和：


总和 = 平均数 × 项数 = 50.5 × 100 = 5050


如此看来，就算是七岁孩童也能轻松算出结果。（注：数学史爱好者可能会发现，这并非高斯当年的解题方法，但二者的核心思路已十分接近。）


接下来，我们结合一道 GMAT 真题，看看如何将这一知识点运用到实战中：


For any positive integer n, the sum of the first n positive integers equals (n(n+1))/2. What is the sum of all the even integers between 99 and 301?


A) 10,000


B) 20,200


C) 22,650


D) 40,200


E) 45,150


这道题其实无需用到题目给出的求和公式。99 到 301 之间的所有偶数，等价于从 100（该区间内最小偶数）到 300（该区间内最大偶数）的偶数数列。


计算平均数：


平均数 = (300+100)÷2 = 400÷2 = 200


确定项数：


项数 = [(末项 - 首项)÷ 公差] + 1 = [(300-100)÷2] + 1 = 101


（注：此处除以 2，是因为我们选取的是偶数数列，数列的公差为 2。）


计算总和：


总和 = 200 × 101 = 20,200


因此，本题答案为 B，整个解题过程十分简洁。


看到这里，你或许会觉得：“这下简单了，以后只要遇到长等差数列，直接套用公式就行。” 但 GMAT 考试的出题思路绝非如此机械。在考场上，我们既要会用公式，也要善于运用逻辑推理、代入数值、结合选项分析等策略。


有一点需要反复强调：GMAT QUNAT并非单纯的数学考试。它更像是一场压力测试，要求考生运用数学知识做出高效决策。有时，最优解恰恰是少算甚至不算。


我们再来看下面这道例题：


How many positive three-digit integers are divisible by both 3 and 4?


A) 75


B) 128


C) 150


D) 225


E) 300


首先要明确一个知识点：任何能同时被 3 和 4 整除的数，必然能被 12 整除 —— 因为 12 是 3 和 4 的最小公倍数。由此可知，本题所求的数列是所有能被 12 整除的三位正整数，这显然是一个公差为 12 的等差数列。但与上一题不同，本题不需要计算数列总和，只需求出该数列的项数。


已知数列公差为 12，我们在计算时势必会用到除法运算。三位正整数的取值范围是 100 到 999，那么数列末项与首项的差值最大为 999-100 = 899。（严格来说，该数列的最大项为 996，最小项为 108，但实际上我们无需精确计算这两个数值。）


很明显，899÷12 的结果小于 100，也就是说，该数列的项数必然小于 100。观察选项不难发现，只有选项 A 的数值小于 100，因此我们无需进一步计算，就能直接确定答案。


核心要点：备考 GMAT 时，你会学到许多实用公式，但切记不要生搬硬套。要学会将规范的代数运算，与代入数值、结合选项分析等成熟解题策略相结合。在 GMAT 考试中，思维的灵活性与敏捷性，永远比死记硬背更重要。