来聊聊GMAT数学中的核心考点：数字整除规则。以下这10个实用又好记的整除规则，备考GMAT的你一定要烂熟于心：


数字1的整除规则


1或许是“最孤独的数字”，但在整除运算里，它的地位举足轻重！所有整数都能被1整除，并且任何整数x除以1的结果都等于其本身（一个整数除以1，数值保持不变）。这个性质在GMAT考试中经常成为解题关键。


比如，真题中曾出现过这样的问题：整数x是否存在满足1<y<x的


因数y？因为所有整数都能被1和它本身整除，所以这个问题本质上就是在问：x是不是质数？


如果存在介于1和x之间的因数y，x就是合数；反之，则x是质数。题目里“>1”这个限定条件看似晦涩，但只要你掌握了“所有整数能被1整除”的性质，就能立刻看穿这个抽象题干的本质——考查质数与合数的数字性质。这个知识点虽然基础，但在GMAT考场上时刻牢记，能帮你快速理清解题思路。


数字2的整除规则


不管是生活中的合作，还是GMAT数学运算，“成双成对”总能事半功倍！一个数是偶数，当且仅当它能被2整除。也就是说，只要一个整数的末位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，这个数就一定能被2整除。


这里有个容易被忽略的冷知识：数字0是偶数！ 因为0除以2的结果是0，没有余数，完全符合偶数的定义。虽然0既不是正数也不是负数，但它的偶数属性在GMAT题目中经常成为考点，一定要特别留意。


GMAT考试高频考查奇偶性的运算规律，你需要熟练掌握以下结论：任何偶数都能被2整除（也可以表示为“偶数=2×某个整数”），因此偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数——只要乘法运算中有一个因数是偶数，结果就一定是偶数。


数字3的整除规则


3的整除判定堪称“数学小魔术”，在考场上熟练运用这个规则，能帮你节省大量计算时间，轻松解复杂数字题。


规则核心：将一个整数的各位数字相加，若得到的和能被3整除，那么这个整数就能被3整除。


举个例子：整数219，各位数字之和为2+1+9=12。12能被3整除，因此219也能被3整除（219=3×73）。


这个规则的实用性极强：比如在判断一个数是否为质数时，只要发现它的各位数字之和是3的倍数，就能直接判定它是合数，无需进行繁琐的长除法验算；再比如化简复杂分数时，若分子和分母的各位数字之和都能被3整除，就能快速判断两者有公因数3，从而简化计算。


GMAT对因数、倍数和整除性的考查占比很高，这个规则是快速判断整除性的“杀手锏”。而且每3个连续整数中就有1个能被3整除，它的出场频率非常高！


数字4的整除规则


4的整除判定规则其实很简单：截取一个整数的最后两位数字，组成一个新的两位数。如果这个两位数能被4整除，那么原整数就能被4整除。


以2016为例，2016的末两位是16，16能被4整除，因此2016也能被4整除。


如果用这个规则没能立刻判断出结果，也不用慌！能被4整除等价于能被2连续整除两次。比如判断2016能否被4整除时，若没直接看出2016=504×4，可以先除以2得到1008，再除以2得到504，同样能得出“2016能被4整除”的结论，只是多了一步计算而已。


数字5的整除规则


用一只手的5根手指，就能搞定5的整除判定！这个规则简单到离谱：只要一个整数的末位数字是0或5，它就能被5整除。


至于末位是0的情况，我们在后文还会详细展开它的特殊用法。


数字6的整除规则


因为6=2×3，所以一个数能同时被2和3整除，就一定能被6整除。


也就是说，判断一个数能否被6整除，只需两步：第一步，看它是不是偶数（满足被2整除的条件）；第二步，计算它的各位数字之和是否能被3整除。


比如化简324这个数时，与其先除以2或3，不如直接除以6，这样能减少因式分解的步骤，提高计算效率。


数字7的整除规则


虽然7也有专属的整除判定技巧，但在GMAT整除类题目中，7的出场频率远低于2、3、4、5等数字（其他质数如11、13、17也是如此）。因此，与其死记硬背这个小众技巧，不如掌握一种适用于所有数字的通用整除判定策略。


通用方法：判断一个大数（如231）能否被7整除时，先找出一个接近该数且明显能被7整除的数，再通过加减7的倍数来验证。


以231为例：我们很容易想到210是7的倍数（已知21=7×3，在末尾加一个0，可得210=7×30）。在此基础上连续加7：210+7=217，217+7=224，224+7=231。由此可以轻松推出，231是210再加上3个7，即231=7×(30+3)=7×33。


数字8的整除规则


正如前文提到的4和6的规则，面对合数的整除判定，将其分解为更小的质因数，逐次整除，比直接判定大数的整除性更简单。


因为8=2×2×2，所以判断一个数能否被8整除时，最稳妥的方法是连续除以2三次。


比如判断312能否被8整除，无需列长除法计算，只需先除以2得156，再除以2得78，最后除以2得39，由此可知312=39×8。


数字9的整除规则


9的整除判定和3高度相似，同样适用“数字和规则”：将一个整数的各位数字相加，若得到的和能被9整除，那么这个整数就能被9整除。


举个例子：整数729，各位数字之和为7+2+9=18。18能被9整除，因此729也能被9整除（729=81×9=9^3）。


数字10的整除规则


压轴登场的，必然是最实用的规则！只要一个整数的末位数字是0，它就能被10整除。这个规则能帮你极大简化计算步骤。


比如数字210，一眼就能看出210=21×10，进一步分解可得210=3×7×2×5。


在GMAT考试中，与10相关的计算往往最快捷，因此解题时要主动寻找构造10的机会。


举个例子：看到数字693时，不妨思考：给693加7，就能得到末尾有两个0的700（700=7×10×10）。由此可以同时推出两个结论：第一，693与7的倍数700相差7，因此693能被7整除；第二，693=700-7=7×(100-1)=7×99。


GMAT考试格外青睐快速心算的能力，因此你可以养成一个习惯：看到一个数时，先思考“给它加上或减去多少能得到整十、整百的数？”，再判断这个差值是否与目标除数相关。


比如297，它与300相差3，而300是3的倍数，因此可以快速推出


297=300-3=3×(100-1)=3×99。


另外，因为10=2×5，所以遇到末位是5的数时，还可以通过“翻倍”构造10来简化计算。比如215，将它乘以2得到430（430=43×10），由此可知215=43×5——这个推导的依据是


215×2=43×(2×5)，两边同时除以2，等式依然成立。


善用10的倍数进行计算，能让心算速度实现质的飞跃——对于末尾是0的数字，我们必须给出满分评价！