要解决一些高难度题目，我们往往需要进行合理推理。这类推理乍看之下并不明显，但经过一定的练习后，就能形成直觉思维。今天，我们就来分析一道GMAT的高难度推理题。


题目： In a village of 100 households, 75 have at least one DVD player, 80 have at least one cell phone, and 55 have at least one MP3 player. If x and y are respectively the greatest and lowest possible number of households that have all three of these devices, x – y is:


(A) 65


(B) 55


(C) 45


(D) 35


(E) 25


解题步骤：


我们需要求出x-y的值。其中，x代表同时拥有三种设备的家庭户数的最大值；y代表同时拥有三种设备的家庭户数的最小值。


我们将100户家庭看作总量，三个集合分别定义为：


DVD集合：75户家庭


手机集合：80户家庭


MP3集合：55户家庭


解题的核心思路是，最大化三个集合的交集即可求得x的值，最小化三个集合的交集即可求得y的值。


步骤1：求同时拥有三种设备的家庭户数的最大值（x）


要算出最大值，我们需要让三个集合的重叠部分尽可能多。三个集合中，MP3集合的户数最少，仅有55户。我们可以让这55户家庭完全与DVD集合和手机集合重叠。这55户就是同时拥有三种设备的最大户数，因为再多就超出了MP3集合的总量。因此，x=55。


补充说明：这里无需考虑“没有任何设备的家庭户数是否为0”，这个条件对解题没有影响，却容易造成干扰。我们可以简单计算验证：有DVD播放器但没有MP3播放器的家庭户数为 75-55=20 户；有手机但没有MP3播放器的家庭户数为 80-55=25 户。这两部分家庭相加正好是 20+25=45 户，恰好对应没有MP3播放器的家庭总数。这45户家庭可能只拥有一种设备，也可能存在部分重叠，因此可能存在没有任何设备的家庭。在解题示意图中，我们展示的是“无设备家庭户数为0”的情况。


步骤2：求同时拥有三种设备的家庭户数的最小值（y）


如何计算最小值？在展开计算前，我们先看一个更简单的例子帮助理解：假设你有3个兄弟姐妹（甲、乙、丙），你要把5块巧克力分给他们，分配方式不限，但每人最多分3块。现在要求最少有几人能拿到3块巧克力，你会怎么分？你会故意不给其中一个人分巧克力吗？显然不会。因为如果有一个人没分到巧克力，剩下的两人分到的巧克力就会更多，反而更容易出现有人拿到3块巧克力的情况。正确的做法是：先给每人分1块，剩下的2块再分给其中2个人，每人1块。这样一来，没人能拿到3块巧克力，我们也就成功实现了“拿到3块巧克力的人数最少”的目标。这个例子的核心思路就是：把“好处”尽可能分摊出去，避免集中，就能让同时拥有多项“好处”的人数最少。


这个思路同样适用于本题。要让同时拥有三种设备的家庭户数最少，我们就要把设备尽可能分散给更多家庭，保证每户家庭至少拥有一种设备（即不存在没有任何设备的家庭）。


具体计算过程如下：


80户家庭拥有手机，剩下的 100-80=20 户家庭，我们可以分配给他们DVD播放器。


DVD播放器的总拥有户数是75户，减去这20户，还剩 75-20=55 户。这55户家庭必然同时拥有手机和DVD播放器。


此时，我们可以划分出两类家庭：55户同时拥有手机和DVD播放器的家庭，以及 100-55=45 户只拥有一种设备的家庭。


接下来，我们要分配55台MP3播放器，目标是让同时拥有三种设备的家庭户数最少。


优先将MP3播放器分给只拥有一种设备的45户家庭，这样就能避免新增同时拥有三种设备的家庭。


分配完这45户后，还剩 55-45=10 台MP3播放器。这10台只能分给同时拥有手机和DVD播放器的55户家庭。


因此，同时拥有三种设备的家庭户数的最小值y=10。


步骤3：计算最终结果


x-y=55-10=45


答案：(C)