在GMAT排列组合板块，有时会遇到一些极具巧思的题目。比如一道题，初看和普通组合题并无二致，只是计算过程稍显繁琐。但当看到答案时，却陷入了思考，背后一定藏着更简洁的解题逻辑，而事实也的确如此！真希望自己当初没有绕远路，能早点想到这个思路。


在揭晓这道题之前，我们先来解决两道类似的基础题（为了简洁，此处省略选项）：


题目 1


In how many ways can 10 different paintings be distributed between two collectors – Dave and Mona – if Dave should get either three paintings or five paintings? (All paintings should be given away).


解题思路1


本题的分配方式分为两种情况，我们需分别计算后求和：


Dave分得 3 幅，Mona分得剩下的 7 幅：从 10 幅画作中选出 3 幅给Dave，组合数为C10,3 = 120 种。


Dave分得 5 幅，Mona分得剩下的 5 幅：从 10 幅画作中选出 5 幅给Dave，组合数为C10,5= 252 种。


因此，满足条件的分法总数 = 120 + 252 = 372 种。


是不是很简单？我们再来看另一道同类型的基础题。


题目 2


In how many ways can 10 different paintings be distributed between two collectors – Dave and Mona – if Dave should get at least two paintings? (All paintings should be given away.)


解题思路 2


“Dave 至少分得 2 幅”，意味着他可以分得 2 幅、3 幅、4 幅…… 最多 10 幅。如果逐个情况计算，过程会十分繁琐，这时“总情况数 - 对立情况数”的逆向思维方法就格外适用。


无限制条件下的总分法：每幅画都有两种分配选择 ： 给Dave 或给Mona 。因此 10 幅画的总分法为2*2*2*…*2 = 2^10 = 1024种。


对立情况（Dave 分得少于 2 幅）：即Dave 分得 0 幅或 1 幅。


Dave 分得 0 幅：只有 1 种分法，所有画都给Mona 。


Dave 分得 1 幅：从 10 幅画中选 1 幅给他，组合数为C10,1= 10 种。


对立情况的分法总数 = 1 + 10 = 11 种。


因此，Dave 至少分得 2 幅画作的分法总数 = 1024 - 11 = 1013 种。


这又是一道 “似曾相识、解法明确” 的基础题。


接下来，我们就来看今天的重头戏：这道题看似和前两道大同小异，实则暗藏玄机。


题目 3


In how many ways can 10 different paintings be distributed between two collectors – Dave and Mona – if both collectors should get an even number of paintings? (All paintings should be given away.)


解题思路 3


满足 “两人均分得偶数幅画” 的分配方案有以下三种：


（0,10）：一人分得 0 幅，另一人分得 10 幅


（2,8）：一人分得 2 幅，另一人分得 8 幅


（4,6）：一人分得 4 幅，另一人分得 6 幅


我们需要分别计算每种方案的分法数，再相加求和。这里要注意，“总情况数 - 对立情况数”的方法不再适用，因为对立情况 “两人均分得奇数幅画” 的计算复杂度和原题不相上下。


情况 1：分配方案（0,10）一人得 0 幅，另一人得 10 幅，共有 2 种分法：要么Dave 拿 10 幅，要么Mona 拿 10 幅。


情况 2：分配方案（2,8）一人得 2 幅，另一人得 8 幅。先从 10 幅画中选 2 幅给Dave ，组合数为C10,2= 45 种；同理，也可以先选 2 幅给Mona ，Dave 得剩下的 8 幅。因此总方法数 = 45 × 2 = 90 种。


情况 3：分配方案（4,6）一人得 4 幅，另一人得 6 幅。先从 10 幅画中选 4 幅给Dave ，组合数为C10,4 = 210 种；同理，也可以先选 4 幅给Mona ，Dave 得剩下的 6 幅。因此总方法数 = 210 × 2 = 420 种。


综上，两人均分得偶数幅画的分法总数 = 2 + 90 + 420 = 512 种。


但有趣的是，512 恰好等于2^9，和题目 2 中用到的2^10形式极为接近。这不禁让人猜想：这类题的答案是不是都遵循2^(n-1) 的规律？答案是肯定的！


更简洁的巧思解法


我们有 10 幅不同的画作，每幅画都有 2 种分配选择。现在，我们先随意分配前 9 幅画，分法数为  2*2*2…  = 2^9 种。


当分完 9 幅画时，两人的画作数量必然是一奇一偶的组合（可能是 0 和 9、1 和 8、2 和 7、3 和 6、4 和 5）。


此时，第 10 幅画的分配方式就唯一确定了 ——必须分给当前画作数量为奇数的人。这样一来，两人的画作数量就都会变成偶数，完美满足题目要求。


因此，总方法数 = 2^9*1 = 512 种。


顺着这个思路，大家不妨思考一下这道延伸题：


题目 4


In how many ways can 10 different paintings be distributed between two collectors – Dave and Mona – if both collectors should get an odd number of paintings? (All paintings should be given away.)