在 GMAT 考试中，我们有时会遇到一些无法简单归类为算术、代数等单一题型的题目。事实上，难度较高的题目往往会横跨多个知识领域。解答这类题目的关键，在于整合你各学科的知识储备，然后思考最优的解题路径。


今天我们就来分析这样一道题 —— 思路跑偏的话，你可能会陷入重重迷雾；但只要找对方向，短短几秒就能破解。关键就在于开局选对解题路径，这也是为什么每道题会给你 2 分钟答题时间的原因，否则 40 秒一道题就足够了！


题目：


This game season, five divisions are going to play. Out of all the teams in each division, 6, 9, 12, 13 and 14 teams have qualified from the respective divisions. Each division will hold its own tournament – where a team is eliminated from the tournament upon losing two games – in order to determine its champion. The five division champions will then play in a knock-off tournament – a team is eliminated as soon as it loses a game – in order to determine the overall champion. Assuming that there were no ties and no forfeits, what is the maximum number of games that could have been played in order to determine the overall league champion?


(A) 89


(B) 100


(C) 102


(D) 107


(E) 112




这是一道极值问题吗？或许是，但我们该运用极值问题的哪条解题原则呢？先试着自己思考一下解题方法吧。


你会纠结于具体的对阵方式，还是更关注比赛结果（也就是每场比赛必有 1 支队伍获胜、1 支队伍落败这个事实）？如果抛开对阵方式，只聚焦比赛结果，我们可以借用混合问题的解题思路：在混合问题中，我们会重点关注某一成分的变化情况。而在这里，我们只需要追踪比赛的失利场数，完全可以忽略获胜场数。题目中明确没有平局，因此每一场失利必然对应着一场胜利。


每场比赛都会产生 1 次失利。一支队伍最多只能输 2 场，输满 2 场就会被淘汰。我们不用去管这支队伍是输给了谁。任何队伍输掉 2 场后都会出局，它可能赢过很多场比赛，但我们不需要统计获胜场数，因此完全不用在意它赢了多少场。正如我们之前所说，我们只统计失利场数，这支队伍的每一场胜利，都会被记作对手的一次失利。


我们先来看有 6 支队伍的赛区：如果进行 12 场比赛，就会产生 12 次失利。要是每支队伍都输满 2 场（一支队伍最多只能输 2 场，输 2 场就会被淘汰），那么所有队伍都会被淘汰。但我们需要决出一个赛区冠军，因此实际只需进行 11 场比赛，让最终的冠军队伍只输 1 场。我们的目标是最大化失利场数（进而最大化比赛场数），因此冠军队伍也必须至少输 1 场。


由此可得，一个赛区的锦标赛最多能进行的比赛场数公式为：2×队伍数 - 1因此，6 支队伍的赛区最多赛：2×6 - 1 = 11 场同理：


9 支队伍的赛区最多赛：2×9 - 1 = 17 场


12 支队伍的赛区最多赛：2×12 - 1 = 23 场


13 支队伍的赛区最多赛：2×13 - 1 = 25 场


14 支队伍的赛区最多赛：2×14 - 1 = 27 场


5 个赛区的比赛场数总计：11+17+23+25+27 = 103 场


接下来我们计算赛区冠军之间的淘汰赛比赛场数。


淘汰赛共有 5 支队伍参赛，输 1 场即被淘汰。如果进行 4 场比赛，就会产生 4 次失利，4 支队伍会被淘汰，剩下的 1 支就是最终的联赛总冠军！


因此，比赛总场数 = 赛区锦标赛总场数 + 冠军淘汰赛总场数 = 103 + 4 = 107 场答案选 D


这道题还可以延伸出很多变式。


比如，如果题目问的是要决出总冠军，最少需要进行多少场比赛？


你会发现，唯一可以减少的比赛场数，就是赛区冠军在淘汰赛中输掉的场次。要决出赛区冠军，每支队伍仍然需要输满 2 场；要决出联赛总冠军，4 支赛区冠军仍然需要各输 1 场。因此，最少需要进行的比赛场数为：107 - 5 = 102 场


我们也可以换一种思路计算最少比赛场数：


要淘汰一支队伍，它需要输 2 场。因此，6 支队伍的赛区需要淘汰 5 支队伍，最少赛：5×2 = 10 场同理：


9 支队伍的赛区最少赛：8×2 = 16 场


12 支队伍的赛区最少赛：11×2 = 22 场


13 支队伍的赛区最少赛：12×2 = 24 场


14 支队伍的赛区最少赛：13×2 = 26 场


5 个赛区最少比赛场数总计：10+16+22+24+26 = 98 场


5 支赛区冠军进行淘汰赛，要决出总冠军最少需要赛 4 场。


因此，比赛总场数最少为：98 + 4 = 102 场


你还可以尝试其他变式 —— 比如，如果赛制改为一支队伍输 3 场才被淘汰，结果会如何？又或者，如果没有淘汰赛，而是要求每个赛区冠军也必须输 2 场才能被淘汰，最终决出总冠军需要多少场比赛？