重要数学公式（助力快速解题）

一、百分比-利润与亏损

1. 价值变化后回归原值的百分比：若价值上升/下降 ，则需减少/增加 。

2. 两数增减百分比关系：若A比B多/少 ，则B比A少/多 。

3. 价格与消费量的平衡：若价格上升/下降，消费量需减少/增加。以保持总支出不变。

4. 利润/亏损基本公式：

• 售价 （P为利润率）；
• 售价 （L为亏损率）；
• 成本价。

5. 同价买卖的盈亏：若两件物品以相同价格出售，一件盈利 、一件亏损，则总亏损率为 。

6. 连续利润：若A盈利 后B盈利 ，总利润率为 。

7. 折扣公式：售价 = 标价 - 折扣；折扣率 = 。

二、时间与距离

1. 行程补时问题：若以u km/h 迟到p小时、以v km/h 提前q小时，则距离为 。

2. 往返平均速度：从A到B速度p、返回速度q，平均速度为。

3. 分段路程平均速度：若两段路程比为m:n，速度分别为p、q，则平均速度为 。

4. 火车超车时间：。

5. 圆形轨道相遇（2人）：

• 同向首次相遇：；反向首次相遇：；
• 同向/反向首次在起点相遇：。

6. 圆形轨道相遇（3人）：

• 同向首次相遇：；反向首次相遇：；
• 同向/反向首次在起点相遇：。

三、船与水流

1. 逆流速度 = 静水船速 - 水流速度；顺流速度 = 静水船速 + 水流速度。

2. 静水船速 =；水流速度 =。

四、数列

1. 等差数列（AP）：

• 公共项：若两AP公差的最小公倍数为L.C.M.(d₁,d₂)，则第N个公共项为：首个公共项 + (N-1) x  L.C.M.(d₁,d₂)；
• 奇数项和：项数为奇数时，和 = 项数 × 中间项；
• 奇偶项差：项数为偶数时，奇数项和与偶数项和的差为；
• 前n项和：（a为首项，l为末项）；
• 算术平均数：；
• 设项技巧：3项设为a-d, a, a+d；4项设为a-3d, a-d, a+d, a+3d；5项设为a-2d, a-d, a, a+d, a+2d。

2. 调和数列（HP）：若a,b,c成HP，则 ；调和平均数 。

3. 等比数列（GP）：设项技巧为3项 ；5项 。

五、不等式与绝对值

1. 均值不等式：，等号仅在所有数相等时成立。

2. 和积极值：两正量和定则积最大（相等时），积定则和最小（相等时）。

3. 表达式极值：

• 若ax+by为常数， 的最大值在 时取得；
• 若 为常数，ax+by的最小值在 时取得。

4. 积定和最小：若干数乘积为常数时，和最小当且仅当所有数相等。

5. 阶乘不等式：。

六、排列组合

1. 平均分配：

• 4n个不同物品分给4个男孩：；
• 4n个不同物品分成4个包裹：。

2. 棋盘图形：

• n×n棋盘的矩形数：；
• n×n棋盘的正方形数：。

3. 选物方式：

• 多类同物品选1个及以上：(p+1)(q+1)(r+1)-1（p,q,r为各类物品数）；
• n个物品选1个及以上：。

4. 分组方式：

• (p+q)个物品分成p、q组：；
• 2p个物品分成两组（有标识）：；无标识：；
• (p+q+r)个物品分成p、q、r组：。

5. 环形排列：n 个不同物品环形排列，有区别时为 (n-1)!，无区别时为 。

6. 平均分配给人：m 个物品分给 n 人（每人 p 个）：。

7. n 个不同数字组成 n 位数的和：(n-1)! ×数字和 。

七、二次方程

1. 根与系数（韦达定理）：对于ax² + bx + c = 0，根的和为 ，根的积为 。

2. 判别式：

• b² - 4ac < 0：复根且不等；
• b² - 4ac = 0：实根且相等；
• b² - 4ac > 0：实根且不等。

3. 三次方程根的关系：对于ax³ + bx² + cx + d = 0，根的积为 ，根的和为 ，两两根乘积的和为 。

4. 由根构造方程：若根的和为p、积为q，则方程为x² - px + q = 0。

5. 二次表达式极值：

• a > 0时，最小值为 ，在 处取得；
• a < 0时，最大值为 ，在 处取得。

6. 根的个数：等于方程次数。

7. 倒数根方程：若方程根为ax² + bx + c = 0根的倒数，则方程为cx² + bx + a = 0。

8. 确定表达式的条件：一次表达式需2个条件，二次需3个，三次需4个；根的差为 。

八、几何与度量

1. 三角形：

• 直角三角形外接圆半径： ；
• 三角形内切圆半径：；
• 等边三角形内切圆半径： ；外接圆半径： ；
• 等腰三角形面积：（b为第三边）；
• 等边三角形面积： ；
• 一般三角形外接圆半径： （a,b,c为三边）；
• 直角三角形内切圆半径：（c为斜边）。

2. 多边形：内角和(n-2)×180°，每个内角 。

3. 长方体：最长对角线 ，总表面积 。

4. 轮子与滚轴：

• 转数： ；
• 场地面积：滚轴侧面积×转数。

5. 房间四壁面积：2h(l + b)（h为高，l为长，b为宽）。