在一个数列中，除首项外，每一项都等于前一项的一半的 5 倍。如果\(x\)是该数列的首项且\(x\neq0\)，那么第四项减去第二项的值是整数吗？ 该数列的前四项为：$x$，$\frac{5x}{2}$，$\frac{25x}{4}$，$\frac{125x}{8}$。 我们需要判断 $\frac{125x}{8} - \frac{5x}{2} = \frac{105x}{8}$ 是否为整数。 由于 $105$ 与 $8$ 互质（无公因数），因此要使该差值为整数，$x$ 必须是 $8$ 的倍数。 #### (1) $x = 12k = 2^3 \cdot 3 \cdot k$（$k$ 为正整数） 我们可以通过两组取值验证条件(1)不充分： - 若 $x=24$，则 $\frac{105x}{8}$ 为整数； - 若 $x=36$，则 $\frac{105x}{8}$ 不为整数（可通过质因数分解直接推导：$36$ 仅含 $2^2$，无法被 $8=2^3$ 整除）。 因此**条件(1)不充分**。 #### (2) $x = 56q = 7 \cdot 2^3 \cdot q$（$q$ 为正整数） $x$ 包含因数 $8$，因此 $\frac{105x}{8}$ 一定能被 $8$ 整除，结果恒为整数。**条件(2)充分**。 **答案：B**