已知\(\frac{4^{y^{2}}}{64}=2^{-y}\)且\(y\lt|y|\)，求\(y\)的值。 - 首先将\(4^{y^{2}}\)转化为\((2^{2})^{y^{2}}=2^{2y^{2}}\)，\(64 = 2^{6}\)。 - 那么原方程\(\frac{4^{y^{2}}}{64}=2^{-y}\)可转化为\(\frac{2^{2y^{2}}}{2^{6}}=2^{-y}\)。 - 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，得到\(2^{2y^{2}-6}=2^{-y}\)。 - 因为等式两边底数相同，则指数相等，即\(2y^{2}-6=-y\)。 - 移项化为标准的一元二次方程形式\(2y^{2}+y - 6=0\)。 - 对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c =0\)，这里\(a = 2\)，\(b=1\)，\(c=-6\)，其解为\(y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)。 - 代入可得\(y=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\times2\times(-6)}}{2\times2}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-1\pm7}{4}\)。 - 解得\(y_{1}=\frac{-1 + 7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)，\(y_{2}=\frac{-1-7}{4}=\frac{-8}{4}=-2\)。 - 已知\(y\lt|y|\)，当\(y=\frac{3}{2}\)时，\(\vert\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}\)，不满足\(y\lt|y|\)。 - 当\(y=-2\)时，\(\vert-2\vert = 2\)，满足\(y\lt|y|\)。 所以\(y=-2\)，答案是C选项。