题目
A die is rolled n times, where n is at least 3.
Quantity A
The probability that at least one of the throws yields a 6
选项
C.The two quantities are equal.
D.The relationship cannot be determined from the information given.
解析
计算该概率最简便的方法是使用“1 - x”技巧。具体思路是,考虑目标事件的对立事件,即“n次投掷中一次都没有掷出6点”。单次投掷不出现6点的概率为5/6,且各次投掷相互独立,因此n次投掷均不出现6点的累积概率可通过乘法计算:
P(n次投掷中无6点) = (5/6)^n
底数小于1的分数,其幂值会随着指数增大而减小。因此,当n很大时,该概率会变得非常小,对应的“至少出现一次6点”的概率(即$1-(5/6)^n$)会逐渐趋近于1。也就是说,随着n的增大,掷出6点的确定性越来越高。现在的问题是:“至少出现一次6点”的概率最小可能是多少?要回答这个问题,应取n的最小可能值,即3。此时,一次都不出现6点的概率为:
(5/6)^3 = 125/216
而三次投掷中至少出现一次6点的概率为:
P(三次投掷中至少一次6点) = 1 - 125/216 = 91/216
该值小于1/2。但正如前文所述,随着n的增大,至少出现一次6点的概率会越来越高,最终超过1/2。因此,量A既可能小于1/2,也可能大于1/2。根据现有信息,无法确定两者的大小关系。