For each positive integer n, p(n) is defined to be the product of the digits of n

题目

For each positive integer n, p(n) is defined to be the product of the digits of n. For example, p(724)=56 since 7∗2∗4=56.

Which of the following statements must be true?

I. p(10n)=p(n)

II. p(n+1)>p(n)

III. p(2n)=2p(n)

选项

None

I and II only

I and III only

II and III only

I, II, and III

解析

I) \(p(10n) = p(n)\) \(p(10n)\) 的个位数字一定是 0，因此 \(p(10n) = 0\) 而 \(p(n)\) 可以是任意整数这不是一个必然成立的陈述 II) \(p(n + 1) > p(n)\) 若 \(n = 2\)，则 \(p(n+1) = 3\)，\(p(n) = 2\)，此时 \(p(n+1) > p(n)\) 若 \(n = 9\)，则 \(p(n+1) = 0\)，\(p(n) = 9\)，此时 \(p(n+1) < p(n)\) 这不是一个必然成立的陈述 III) \(p(2n) = 2 \times p(n)\) 若 \(n = 12\)，则 \(p(2n) = p(24) = 8\)，而 \(2 \times p(n) = 4\) 这不是一个必然成立的陈述答案：A

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