一个袋子里只装有红色和白色的弹珠，总共有20颗，其中红色弹珠不到总数的一半。要从袋子中同时取出两颗弹珠。袋子里有多少颗红色弹珠？ - **条件(1)**：取出的两颗弹珠都是红色的概率是\(\frac{1}{19}\) - **条件(2)**：取出一颗红色弹珠和一颗白色弹珠的概率是\(\frac{15}{19}\) ### 分析 Statement (1) > 抽到两颗都是红色弹珠的概率是 \( \frac{1}{19} \) 根据概率公式，从 \( R \) 颗红色弹珠中抽两颗的组合数，除以从全部 20 颗弹珠中抽两颗的组合数，等于 \( \frac{1}{19} \)： \[ \frac{\binom{R}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{1}{19} \] \[ \frac{R(R-1)}{20 \times 19} = \frac{1}{19} \] \[ \frac{R(R-1)}{380} = \frac{1}{19} \] \[ R(R-1) = \frac{380}{19} = 20 \] \[ R^2 - R - 20 = 0 \] 解这个二次方程： \[ (R - 5)(R + 4) = 0 \] 得到 \( R = 5 \) 或 \( R = -4 \)。弹珠数量不能为负，所以 \( R = 5 \)。 又因为 \( 5 < 10 \)，满足“红色弹珠少于一半”的条件。 因此，Statement (1) **充分**。 ### 分析 Statement (2) > 抽到一颗红色、一颗白色弹珠的概率是 \( \frac{15}{19} \) 从 \( R \) 颗红色弹珠中抽 1 颗，从 \( 20-R \) 颗白色弹珠中抽 1 颗，组合数为 \( R(20-R) \)。 \[ \frac{R(20-R)}{\binom{20}{2}} = \frac{15}{19} \] \[ \frac{R(20-R)}{190} = \frac{15}{19} \] \[ R(20-R) = \frac{190 \times 15}{19} = 150 \] \[ -R^2 + 20R - 150 = 0 \] \[ R^2 - 20R + 150 = 0 \] 判别式 \( \Delta = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 150 = 400 - 600 = -200 < 0 \)，方程无实数解。 因此 Statement (2) **不充分**