如果一个密码词被定义为从10个字母A、B、C、D、E、F、G、H、I和J中选取的**不同**字母组成的序列，那么5字母密码词的数量与4字母密码词的数量之比是多少？ 本题的核心是**排列数的应用**（“序列”强调顺序，不同顺序的字母组合是不同的密码词，因此用排列数计算数量）。 排列数公式：从\( n \)个元素中选\( k \)个的排列数为 \( \boldsymbol{P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}} \)（其中\( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 \)，读作“\( n \)的阶乘”）。 #### 计算5字母密码词的数量 从10个字母中选5个排列（顺序不同则密码词不同），即计算\( P(10, 5) \)： \[ P(10, 5) = \frac{10!}{(10 - 5)!} = \frac{10!}{5!} \] #### 计算4字母密码词的数量 从10个字母中选4个排列，即计算\( P(10, 4) \)： \[ P(10, 4) = \frac{10!}{(10 - 4)!} = \frac{10!}{6!} \] #### 求两者的比率 比率为“5字母密码词数量”与“4字母密码词数量”的商： \[ \text{比率} = \frac{\text{5字母密码词数量}}{\text{4字母密码词数量}} = \frac{P(10, 5)}{P(10, 4)} \] 将排列数公式代入，化简： \[ \frac{\frac{10!}{5!}}{\frac{10!}{6!}} = \frac{10!}{5!} \times \frac{6!}{10!} \] 观察到\( 10! \)可约去，剩余： \[ \frac{6!}{5!} \] 根据阶乘的定义（\( n! = n \times (n-1)! \)），\( 6! = 6 \times 5! \)，因此： \[ \frac{6 \times 5!}{5!} = 6 \]