小于20的正整数中，有多少个可以表示为2的正整数倍与3的正整数倍之和？ 设\(2\)的正整数倍为\(2a\)（\(a\in N^+\)），\(3\)的正整数倍为\(3b\)（\(b\in N^+\)），那么这些数可表示为\(2a + 3b\)。 因为要求的数小于\(20\)，所以\(2a+3b＜20\)。 - 当\(a = 1,b = 1\)时，\(2\times1+3\times1=5\)； - 当\(a = 1,b = 2\)时，\(2\times1 + 3\times2=8\)； - 当\(a = 1,b = 3\)时，\(2\times1+3\times3 = 11\)； - 当\(a = 1,b = 4\)时，\(2\times1+3\times4=14\)； - 当\(a = 1,b = 5\)时，\(2\times1+3\times5 = 17\)； - 当\(a = 2,b = 1\)时，\(2\times2+3\times1=7\)； - 当\(a = 2,b = 2\)时，\(2\times2+3\times2 = 10\)； - 当\(a = 2,b = 3\)时，\(2\times2+3\times3=13\)； - 当\(a = 2,b = 4\)时，\(2\times2+3\times4 = 16\)； - 当\(a = 3,b = 1\)时，\(2\times3+3\times1=9\)； - 当\(a = 3,b = 2\)时，\(2\times3+3\times2 = 12\)； - 当\(a = 3,b = 3\)时，\(2\times3+3\times3=15\)； - 当\(a = 3,b = 4\)时，\(2\times3+3\times4 = 18\)； - 当\(a = 4,b = 1\)时，\(2\times4+3\times1 = 11\)（与前面重复，舍去）； - 当\(a = 4,b = 2\)时，\(2\times4+3\times2=14\)（与前面重复，舍去）； - 当\(a = 5,b = 1\)时，\(2\times5+3\times1 = 13\)（与前面重复，舍去）； - 当\(a = 6,b = 1\)时，\(2\times6+3\times1=15\)（与前面重复，舍去）； - 当\(a = 7,b = 1\)时，\(2\times7+3\times1 = 17\)（与前面重复，舍去）； - 当\(a = 8,b = 1\)时，\(2\times8+3\times1=19\)； 总共14个不同的数，分别是\(5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\)。 综上，答案是A选项。 ### 补充说明 任何大于 6 的整数 \(n\) 都至少有一种 \(2a + 3b\) 的表示方法： 如果 \(n\) 是奇数，那么 \(n-3 > 2\)，我们可以取 \(b=1\)，\(a = \frac{n-3}{2}\)； 如果 \(n\) 是偶数，且 \(n>6\)，那么 \(n-6\) 是 2 的正倍数，我们可以取 \(b=2\)，\(a = \frac{n-6}{2}\)。 如果把题目范围改成“小于 100 的整数”，那答案就很简单了：\(99 - 5 = 94\)。