如果\(a + b=10\)，\(a^{3}\times b^{2}\)的最大值是多少？ 这道题是典型的**用均值不等式（AM≥GM）求最值**的问题： 因为指数是 \(a^3\)、\(b^2\)，所以要把 \(a\) 分成 **3 份**，\(b\) 分成 **2 份**， 再对这 **5 个正数** 用 **算术平均 ≥ 几何平均**。 1. 设 \[ \frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}=a+b=10 \] 2. 对这 5 项用 AM ≥ GM： \[ \frac{\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}{5} \ge \sqrt[5]{\left(\frac{a}{3}\right)^3\left(\frac{b}{2}\right)^2} \] 3. 左边就是 \(\dfrac{10}{5}=2\)，所以： \[ 2\ge \sqrt[5]{\frac{a^3b^2}{3^3\cdot 2^2}} \] 4. 两边 5 次方： \[ 2^5\ge \frac{a^3b^2}{3^3\cdot 2^2} \] 5. 移项得： \[ a^3b^2\le 2^5\cdot 3^3\cdot 2^2=3456 \] 当且仅当 \[ \frac{a}{3}=\frac{b}{2} \] 结合 \(a+b=10\)，解得： \[ a=6,\;b=4 \] 此时 \[ a^3b^2=6^3\cdot4^2=216\times16=3456 \]