每条可能的路径都包含总共3段向北的网格线段和5段向东的网格线段。因此，用“\(N\)”表示向北走1段网格线段，用“\(E\)”表示向东走1段网格线段，每条路径都可以用一个由\(N\)和\(E\)组成的8字符字符串唯一表示。例如，按北、东、东、北、东、东、北、东的顺序行进的网格线段。 因此，可能的路径数量等于由\(N\)和\(E\)组成的合适的8字符字符串的数量，即\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{(5!)(6)(7)(8)}{(2)(3)(5!)} = (7)(8) = 56\)，因为当确定字符串中\(N\)所在的3个位置时，每条合适的字符串就被确定下来了。或者，可能的路径数量等于8个物体的排列数，其中3个是相同的（\(N\) ），其余5个是相同的（\(E\) ），因此等于\(\frac{8!}{(3!)(5!)}\) 。 ### 提示 这种替代方法有一个广为人知的推广形式，可用于计算\(n\)个物体的排列数，当这些物体的不同子集由被视为相同的物体组成时。我们给出四个可以使用这种计算方法的例子。 1. 用“\(PEPPERER\)”中的字母能组成的8字母单词的数量等于\(\frac{8!}{(2!)(3!)(3!)} = 560\) 。 2. 考虑上述矩形网格的三维类似情况，尺寸为\(2×3×3\) 。从前左下方顶点到后右上方顶点的路径数量（每条路径仅包含向后、向右或向上走 ）等于\(\frac{8!}{(2!)(3!)(3!)} = 560\) 。 3. 把8本不同的书分给大卫、利亚姆和索菲娅的方法数量（大卫得到2本书，利亚姆得到3本书，索菲娅得到3本书 ）等于\(\frac{8!}{(2!)(3!)(3!)} = 560\) 。 4. 在\((a + b + c)^8\)的展开式中，合并同类项后\(a^2b^3c^3\)的系数等于\(\frac{8!}{(2!)(3!)(3!)} = 560\) 。 正确答案是\(E\) 。