有多少个有序正整数对\((m,n)\)满足\(GCD(m^{3},n^{2}) = 2^{2}\times3^{2}\)且\(LCM(m^{2},n^{3})=2^{4}\times3^{4}\times5^{6}\)，其中\(GCD\)表示最大公约数，\(LCM\)表示最小公倍数 设\(m = 2^{a}\times3^{b}\times5^{c}\)，\(n=2^{d}\times3^{e}\times5^{f}\) 根据\(GCD(m^{3},n^{2})=2^{2}\times3^{2}\)，可得： \(GCD(m^{3},n^{2}) = 2^{\min(3a, 2d)}\times3^{\min(3b,2e)} \times5^{\min(3c,2f)}\) 所以\(\min(3a,2d)=2\)，\(\min(3b,2e) = 2\)，\(\min(3c,2f)=0\) 根据\(LCM(m^{2},n^{3})=2^{4}\times3^{4}\times5^{6}\)，可得： \(LCM(m^{2},n^{3})=2^{\max(2a,3d)}\times3^{\max(2b,3e)}\times5^{\max(2c,3f)}\) 所以\(\max(2a,3d)=4\)，\(\max(2b,3e)=4\)，\(\max(2c,3f)=6\) 对于\(\min(3a,2d)=2\)和\(\max(2a,3d)=4\)： - 当\(3a = 2\)时，\(a=\frac{2}{3}\)（舍去，因为\(a\)是整数） - 当\(2d=2\)即\(d = 1\)时，由\(\max(2a,3d)=4\)可得\(2a=4\)，\(a = 2\) - 当\(3a=4\)时，\(a=\frac{4}{3}\)（舍去） - 当\(2d = 4\)即\(d=2\)时，由\(\min(3a,2d)=2\)可得\(3a=2\)，\(a=\frac{2}{3}\)（舍去） 同理，对于\(\min(3b,2e)=2\)和\(\max(2b,3e)=4\)可得\(b = 2\)，\(e=1\)或\(b=1\)，\(e = 2\) 对于\(\min(3c,2f)=0\)和\(\max(2c,3f)=6\)可得\(c = 3\)，\(f=2\)或\(c=2\)，\(f = 3\) \((a,b,c)\)和\((d,e,f)\)的组合有\((2,2,3)\)与\((1,1,2)\)以及\((2,2,3)\)与\((1,2,3)\)两种情况，即有序正整数对\((m,n)\)有\(2\)对，答案为B